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如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AD⊥PD,BC=1,PC=2(根号3),PD=CD=2.(1)求异面直线PA与BC所成角的正切值;(2)证明:平面PDC⊥平面ABCD;(3)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值.
题目详情
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AD⊥PD,BC=1,PC=2(根号3),PD=CD=2.
(1)求异面直线PA与BC所成角的正切值;
(2)证明:平面PDC⊥平面ABCD;
(3)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值.
(1)求异面直线PA与BC所成角的正切值;
(2)证明:平面PDC⊥平面ABCD;
(3)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值.
▼优质解答
答案和解析
由于ABCD是矩形,AD//BC AD=BC=1
PA与BC所成角=角PAD
tanPAD=PD/AD=2/1=2
已知AD⊥PD 及ABCD是矩形
所以AD⊥DC
又PD、DC分别为平面PDC上的直线,AD为平面ABCD上的直线
一个平面内的两条直线与另一平面内的一条直线垂直,这两平面垂直
所以平面PDC与平面ABCD垂直
作过P点垂直于平面ABCD的直线 交点为Z
则Z点在平面PDC CD延长线上
三角形PZC 与三角形PDC在同一平面
在三角形PDC PD=CD=2 PC=2根号3
可知角PCD=角CPD=30度
PZ=PC*sin角PCD=根号3
直角三角形PBC中可知PB=根号13
直线PB与平面ABCD所成角的正弦值=PZ/PB=根号(3/13)
由于ABCD是矩形,AD//BC AD=BC=1
PA与BC所成角=角PAD
tanPAD=PD/AD=2/1=2
已知AD⊥PD 及ABCD是矩形
所以AD⊥DC
又PD、DC分别为平面PDC上的直线,AD为平面ABCD上的直线
一个平面内的两条直线与另一平面内的一条直线垂直,这两平面垂直
所以平面PDC与平面ABCD垂直
作过P点垂直于平面ABCD的直线 交点为Z
则Z点在平面PDC CD延长线上
三角形PZC 与三角形PDC在同一平面
在三角形PDC PD=CD=2 PC=2根号3
可知角PCD=角CPD=30度
PZ=PC*sin角PCD=根号3
直角三角形PBC中可知PB=根号13
直线PB与平面ABCD所成角的正弦值=PZ/PB=根号(3/13)
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