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正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是上底面ABCD中心,若正方体的棱长为a,则三棱锥O-AB1D1的体积为（ ）
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正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是上底面ABCD中心,若正方体的棱长为a,则三棱锥O-AB1D1的体积为（ ）
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答案和解析
连接AC,BD,则AC与BD的交点就是点O
因为 正方体ABCD-A1B1C1D1中 ABCD是正方形
所以 A0垂直平分BD
因为 正方体ABCD-A1B1C1D1中 DD1垂直面ABCD
因为 AO在面ABCD内
所以 AO垂直DD1
因为 AO垂直BD
所以 AO垂直面BB1D1D
因为 O在BD上
所以 AO垂直面B1D1O
过O作OO1垂直B1D1于O1
因为 正方体的棱长为a
所以 B1D1=√2a
因为 正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是上底面ABCD中心
所以 O1是下底面A1B1C1D1的中心
所以 OO1=BB1=a
因为 B1D1=√2a
所以 三角形B1D1O的面积=√2a^2/2
因为 O是上底面ABCD中心
所以 AO=√2a/2
因为 AO垂直面B1D1O
所以 三棱锥O-AB1D1的体积=1/3AO*三角形B1D1O的面积
因为 AO=√2a/2,三角形B1D1O的面积=√2a^2/2
所以 三棱锥O-AB1D1的体积=a^3/6
因为 正方体ABCD-A1B1C1D1中 ABCD是正方形
所以 A0垂直平分BD
因为 正方体ABCD-A1B1C1D1中 DD1垂直面ABCD
因为 AO在面ABCD内
所以 AO垂直DD1
因为 AO垂直BD
所以 AO垂直面BB1D1D
因为 O在BD上
所以 AO垂直面B1D1O
过O作OO1垂直B1D1于O1
因为 正方体的棱长为a
所以 B1D1=√2a
因为 正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是上底面ABCD中心
所以 O1是下底面A1B1C1D1的中心
所以 OO1=BB1=a
因为 B1D1=√2a
所以 三角形B1D1O的面积=√2a^2/2
因为 O是上底面ABCD中心
所以 AO=√2a/2
因为 AO垂直面B1D1O
所以 三棱锥O-AB1D1的体积=1/3AO*三角形B1D1O的面积
因为 AO=√2a/2,三角形B1D1O的面积=√2a^2/2
所以 三棱锥O-AB1D1的体积=a^3/6
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