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对一切自然数N,X的N+1次方加(X+1)的2N-1次方能被X^2+x+1整除
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对一切自然数N,X的N+1次方加(X+1)的2N-1次方能被X^2+x+1整除
▼优质解答
答案和解析
∵X的N+1次方加(X+1)的2N-1次方
=(x+1)^(2N)/(x+1)+x^(N+1)
=[(x^2+2x+1)^N+(x+1)*x^(N+1)]/(x+1)
={[(x^2+x+1)+x]^n+(x+1)*x*x^N}/(x+1)
=[(x^2+x+1)^n+nx(x^2+x+1)^(n-1)+.+n(x^2+x+1)*x^(n-1)+x^n+(x^2+x)*x^n]/(x+1)
=[(x^2+x+1)^n+nx(x^2+x+1)^(n-1)+.+n(x^2+x+1)*x^(n-1)+(x^2+x+1)*x^n]/(x+1)
分子每一项都有x^2+x+1
∴能被X^2+x+1整除
=(x+1)^(2N)/(x+1)+x^(N+1)
=[(x^2+2x+1)^N+(x+1)*x^(N+1)]/(x+1)
={[(x^2+x+1)+x]^n+(x+1)*x*x^N}/(x+1)
=[(x^2+x+1)^n+nx(x^2+x+1)^(n-1)+.+n(x^2+x+1)*x^(n-1)+x^n+(x^2+x)*x^n]/(x+1)
=[(x^2+x+1)^n+nx(x^2+x+1)^(n-1)+.+n(x^2+x+1)*x^(n-1)+(x^2+x+1)*x^n]/(x+1)
分子每一项都有x^2+x+1
∴能被X^2+x+1整除
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