四棱锥P-ABCD的底面是正方形.在线等 速度~四棱锥P-ABCD的底面是正方形 PA⊥底面ABCD PA=2 ∠PDA=45° 点E F分别为棱AB PD的中点(1)求证：AF‖平面PCE (2)求证：平面PCE⊥平面PCD(3)求三棱锥C-BEP的体积

Question

四棱锥P-ABCD的底面是正方形.在线等 速度~
四棱锥P-ABCD的底面是正方形 PA⊥底面ABCD PA=2 ∠PDA=45° 点E F分别为棱AB PD的中点
(1)求证：AF‖平面PCE
(2)求证：平面PCE⊥平面PCD
(3)求三棱锥C-BEP的体积
详细过程
http://dl.zhishi.sina.com.cn/upload/01/68/87/1236016887.11465326.JPG

Answer 1

(1)取PC的中点,连接EG、FG,AE=AB/2=CD/2,且AE//CD
FG是三角形PCD的中位线,可知：FG//=CD/2
即AE//=FG,可知：AEGF是平行四边形,所以：AF//EG,而EG在平面PCE内
所以：AF‖平面PCE
(2)因为 PA⊥底面ABCD ,所以PA⊥CD,而CD⊥AD,
可知：CD⊥平面PAD,则CD⊥AF,而AF是等腰直角三角形PAD斜边上的中线,也是斜边上的高,即AF⊥PD
所以：AF⊥平面PCD,而（1）中,EG//AF,可知EG⊥平面PCD,而EG在平面PCE内,所以：平面PCE⊥平面PCD
(3)BC⊥AB,且BC⊥PA,可知：PA⊥平面BEP
BC=AD=PAcot45°=2,BE=AB/2=1
所以,三棱锥C-BEP的体积：
V＝1/3S△PBE*BC=1/3*(1/2*BE*PA)*BC=1/3*1/2*1*2*2=2/3