在三角形ABC中,AD,CF,BE分别为BC,AB,AC上的高,D,F,E分别为垂足,H为三角形ABC的垂心,求证：H为三角形DFE的内心 图弄不上去 还有一道 在三角形ABC中，G为重心，I为内心，若AB=6，BC=5，CA=4，求GI：BC的

Question

在三角形ABC中,AD,CF,BE分别为BC,AB,AC上的高,D,F,E分别为垂足,H为三角形ABC的垂心,求证：H为三角形DFE的内心 图弄不上去
还有一道 在三角形ABC中，G为重心，I为内心，若AB=6，BC=5，CA=4，求GI：BC的值

Answer 1

 
1、如图所示：因为HD⊥BC,HF⊥AB,所以H、F、B、D四点共圆
则∠DFH=∠DBH,同样B、C、E、D四点共圆得：∠EFH=∠DBH
所以∠DFH=∠EFH,所以FH是∠DFE的平分线,同理可证：
HD是∠FDE的平分线,所以H是△DEF二个内角平分线交点,
所以H是△DEF的内心
2、延长AG交BC于D,延长AI交BC于E
则 AG = 2GD   又AE是角平分线
∴ AC/CE = AB/BE
可求得 CE = 2
连CI,CI也是角平分线
∴ AI/IE = AC/CE = 4/2 = 2     又AG/GD=2
∴ IG // ED
∴ IG / ED = AG / AD = 2/3
ED = CD - CE = 1/2
∴ IG = 1/3      ∴ GI / BC = 1 / 15     如图所示