请问老师,为什么“矩阵的秩等于它的列向量组的秩,也等于它的行向量组的秩”?如何理解矩阵的秩和向量组的秩的关系,烦请老师详细点拨下.

Question

请问老师,为什么“矩阵的秩等于它的列向量组的秩,也等于它的行向量组的秩”?
如何理解矩阵的秩和向量组的秩的关系,烦请老师详细点拨下.

Answer 1

都是大姨妈的回答,看你大表叔我的~
首先为了帮助你明白,你先要弄清楚2个定义：
矩阵的秩的定义：存在K阶子式不为0,对任意K+1阶子式均为0,则k即为矩阵的秩.
向量组的秩的定义：向量组的极大线性无关组所包含向量的个数,称为向量组的秩.
其次再弄清楚3个定理：
1,矩阵A的行列式不为0的充要条件是A的行(列)向量线性无关
2,无关组加分量仍无关
3, r个n维列向量组线性无关的充要条件是这r个n维列向量组所构成的矩阵至少存在一个r阶子式不为0
好了,简略证明过程开始,我先证“矩阵的秩等于列向量组的秩”.假设n阶矩阵的秩为r,其列向量组的秩为s.（我们的目标：就是证明r=s）
一方面,矩阵的秩为r,即为其有K阶子式不为0(矩阵秩的定义),则该K阶子式的列向量线性无关(定理1),则其k阶子式所在矩阵的列向量必线性无关(定理2),则由向量组的秩的定义可知r≤s.
另一方面,列向量组的秩为s,由定理3知,必有一个s阶子式不为0,故由矩阵的秩的定义可知s≤r.
联立即得,r=s!
同理可证,矩阵的秩等于行向量组的秩!
完全原创,码字辛苦,楼主不明白可追问,明白请采纳!