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已知定义域为区间[a,b]的函数f(x),其图象是一条连续不断地曲线,且满足下列条件:①f(x)的值域为G,且G⊆[a,b];②对任意不同的x、y∈[a,b],都有|f(x)-f(y)|<|x-y|,那么函数g
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已知定义域为区间[a,b]的函数f(x),其图象是一条连续不断地曲线,且满足下列条件:①f(x)的值域为G,且G⊆[a,b];②对任意不同的x、y∈[a,b],都有|f(x)-f(y)|<|x-y|,那么函数g(x)=f(x)-x在区间[a,b]上( )
A.没有零点
B.有且只有一个零点
C.恰有两个不同的零点
D.有无数个不同的零点
A.没有零点
B.有且只有一个零点
C.恰有两个不同的零点
D.有无数个不同的零点
▼优质解答
答案和解析
由①知g(a)=f(a)-a≥a-a=0,g(b)=f(b)-b≤b-b=0
设a≤x1≤x2≤b,由②知f(x2)-f(x1)<x2-x1,f(x2)-x2<f(x1)-x1,g(x2)<g(x1)
函数g(x)在区间[a,b]上是减函数,从而函数g(x)在区间[a,b]上有且只有一个零点.
故选B.
设a≤x1≤x2≤b,由②知f(x2)-f(x1)<x2-x1,f(x2)-x2<f(x1)-x1,g(x2)<g(x1)
函数g(x)在区间[a,b]上是减函数,从而函数g(x)在区间[a,b]上有且只有一个零点.
故选B.
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