多元函数微分2条选着题1函数F（X,Y）的偏导在某点连续是F（X,Y)在该点可微分的（必要条件）答案.为什么不是充要条件呢?2二阶偏导函数XY与二阶偏导函数YX（这里用文字表达,公式写不下

Question

多元函数微分 2条选着题
1函数F（X,Y）的偏导在某点连续是F（X,Y)在该点可微分的 （必要条件）答案.为什么不是 充要条件呢?
2 二阶偏导函数XY 与二阶偏导函数YX（这里用文字表达,公式写不下）在某点连续是 该两个二阶导相等的 （充分条件） 为什么不是充要条件呢?

Answer 1

1）多元函数某点偏导连续不代表原函数连续
2）构造一个分段函数,其中一段是F(x,y)=0 xy=0,另一段比如F(x,y)=1/xy xy不等于0；那么这个F的二阶偏导=1/(xy)^2,显然在(0,0)处不连续,但(0,0)处符合xy=0,所以F(0,0)=0,二阶偏导显然=0,所以相等但不连续