在等比数列{an}中，an＞0（n∈N*），公比q∈（0，1），且a3+a5=5，又a3与a5的等比中项为2．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=5-log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，求数列{Sn}的通项公式；（3）设T

Question

在等比数列{a_n}中，a_n＞0（n∈N*），公比q∈（0，1），且a₃+a₅=5，又a₃与a₅的等比中项为2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=5-log₂a_n，数列{b_n}的前n项和为S_n，求数列{S_n}的通项公式；
（3）设T_n=(1)/(S1)+(1)/(S2)+…+(1)/(Sn)，求T_n．

Answer 1

（1）a_n＞0，∴a₃+a₅=5，又a₃与a₅的等比中项为2，∴a₃a₅=4，而q∈（0，1），
∴a₃＞a₅，∴a₃=4，a₅=1，∴q=(1)/(2)，a₁=16，
∴a_n=16×((1)/(2))n−1=2^5-n；
（2）b_n=5-log₂a_n=5-（5-n）=n，∴b_n+1-b_n=1，
∴{b_n}是以b₁=1为首项，1为公差的等差数列．
∴S_n=(n(n+1))/(2)；
（3）由（2）知(1)/(S)n=(2)/(n(n+1))=2（(1)/(n)-(1)/(n+1)）
∴T_n=(1)/(S1)+(1)/(S2)++(1)/(Sn)=2[（1-(1)/(2)）+（(1)/(2)-(1)/(3)）++（(1)/(n)-(1)/(n+1)）=2（1-(1)/(n+1)）=(2n)/(n+1)；