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在正三角形中任意取一点P,连接PA,PB,PC,过P点做三条边的垂线,E,F,G分别为垂足,已知三角形ABC的面积是24平方厘米,求阴影部分的面积.
题目详情
在正三角形中任意取一点P,连接PA,PB,PC,过P点做三条边的垂线,E,F,G分别为垂足,已知三角形ABC的面积是24平方厘米,求阴影部分的面积.
▼优质解答
答案和解析
如图△ABC为等边三角形,面积为24,P为三角形内任意一点,PE,PG,PF分别为各边上的高,求阴影部分面积.
过P点作三边的平行线,分别交三边与IJKLMN六个点
因为PK∥AC,PI∥AB
所以△PIK为等边三角形
又因为PG⊥BC
所以PG将等边△PIK分为面积相等的两部分,即S△PGI=S△PGK
同理可得△PJL和△PMN为等边三角形,有S△PEL=S△PEJ,S△PFN=S△PFM
因为PI∥AB,PJ∥BC
所以四边形BIPJ为平行四边形,对角线BP分得面积相等的两部分,即S△PBI=S△PBJ
同理四边形CNPK和ALPM均为平行四边形,即S△PCN=S△PCK,S△PAL=S△PAM
图中阴影部分面积
S阴影=S△PBI+S△PGI+S△PCN+S△PFN+S△PAL+S△PEL
图中空白部分面积
S空白=S△PBJ+S△PGK+S△PFM+S△PAM+S△PEJ
所以S阴影=S空白
所以S阴影=S△ABC/2=24/2=12
这题有一定难度,这里给出详细解答,
如图△ABC为等边三角形,面积为24,P为三角形内任意一点,PE,PG,PF分别为各边上的高,求阴影部分面积.
过P点作三边的平行线,分别交三边与IJKLMN六个点
因为PK∥AC,PI∥AB
所以△PIK为等边三角形
又因为PG⊥BC
所以PG将等边△PIK分为面积相等的两部分,即S△PGI=S△PGK
同理可得△PJL和△PMN为等边三角形,有S△PEL=S△PEJ,S△PFN=S△PFM
因为PI∥AB,PJ∥BC
所以四边形BIPJ为平行四边形,对角线BP分得面积相等的两部分,即S△PBI=S△PBJ
同理四边形CNPK和ALPM均为平行四边形,即S△PCN=S△PCK,S△PAL=S△PAM
图中阴影部分面积
S阴影=S△PBI+S△PGI+S△PCN+S△PFN+S△PAL+S△PEL
图中空白部分面积
S空白=S△PBJ+S△PGK+S△PFM+S△PAM+S△PEJ
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