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微分的概念是什么啊?
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微分的概念是什么啊?
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百度上找的：实话实说微分的概念
一,微分概念的引入
在实际测量中,由于受到仪器精度的限制,往往会产生误差.例如x0为准确数,实际测量出是x*=x0+Δx为x0的近似数,由此产生的误差为Δx相应产生的函数值的误差Δy=f(x0+Δx)-f(x0),往往需要估计Δy的值.如果f(x0+Δx),f(x0)计算很复杂.因此计算Δy也很麻烦或者实际中只知道近似数x*与误差|Δx|≤δ,又如何估计Δy
假设f′(x)存在,则
==f′(x0),有
=f′(x0)+α,α=0,于是
Δy=f′(x0)Δx+αΔx,而=0 (1)即 αΔx=0(Δx)(Δx→0)因此,当|Δx|很小时,
Δy≈f′(x0)Δx
在实际中如果不知道x0,只知道x*,由x0,x*相差很小,则
Δy≈f′(x*)Δx,从而可以估计出Δy.
从(1)式我们看到,f′(x0)相对Δx是一个常数,αΔx是Δx的高阶无穷小,如果Δy=AΔx+0(Δx)(Δx→0),则Δy≈AΔx,由此得到微分的概念.
二,微分的概念
定义 设y=f(x)在x0的某领域U(x0)内有定义,若
Δy=f(x+Δx)-f(x)可表示为
Δy=AΔx+o(Δx) (Δx→0)
其中A是写Δx无关的常数,AΔx称为Δy的线性部.则称y=f(x)在点x处可微,称线性部AΔx为y=f(x)在点x处的微分,记为dy,即dy=AΔx.
三,可微与可导的关系
从概念的引入,我们可以看到可导必可微,反之也是正确的.因此有
定理 函数y=f(x)在点x可微的充要条件是函数y=f(x)在点x处可导.且A=f′(x).
证 充分性,由f(x)在点x处可导,有
=f′(x),于是
=f′(x)+α,其中α=0,有
Δy=f′(x)Δx+αΔx,由=0,有αΔx=o(Δx)(Δx→0)
所以
Δy=f′(x)Δx+o(Δx) (Δx→0)
因此,y=f(x)在点x处可微且f′(x)=A.
必要性 由y=f(x)在点x处可微,由定义知
Δy=AΔx+0(Δx) (Δx→0),A与Δx无关.
由=[A+]=A=f′(x)
所以y=f(x)在点x处可导.
于是,若y=f(x)在点x处可微,则
dy=AΔx,由A=f′(x),有
dy=f′(x)Δx
由函数x在x处可微,则dx=(x)′Δx=Δx,即自变量的改变量等于自变量的微分,因此
dy=f′(x)dx等价于=f′(x)
由此可见,导数f′(x)等于函数y=f(x)的微分dy与自变量x的微分dx的商.因此,导数又称为微商,这时不仅可以看成一个整体记号,也可以看成dy与dx的商.
下面举几个例子,来说明微分的一些实际意义
圆面积S=πr2,其中r为圆半径,则
图2-6
ΔS=π(r+Δr) 2-πr2=2πrΔr+π(Δr) 2
ds=2πrΔr=2πrdr
当半径有增量Δr时,圆面积的增量ΔS,如图中圆环表示,用微分ds近似它即以边长为2πr(圆)环内圆长)高为圆环厚度dr的长方形面积来近似.如图2-7
图2-7
(2)圆柱体体积V=πr2h,其中r为圆柱体的底面半径,h为圆柱的高
Δv=π(r+Δr) 2h-πr2h
=2πrhΔhΔr+πh(Δr) 2
dv=2πrhΔr=2πrhdr
图2-8
当底面半径有增量Δr时,圆柱体的增量Δv,如图中空心圆柱表示,用微分dv近似,即底面长为2πr(内圆柱底面周长)宽为h(圆柱的高)高为圆柱厚度Δr的长方体体积.如图2-9
(3)球的体积v=πr3(其中r为地球半径),当半径有增量Δr时,球体积的增量(即薄球壳的体积Δv)
ΔV=π(r+Δr)3-πr3
=π[r3+3r2Δr+3rΔr3-πr3]
=4πr2Δr+(4rπΔr+πΔr2)Δr
dv=4πr2Δr
即薄球壳的体积Δv用微分dv近似即以球壳内球面面积4πr2与厚dr的乘积来近似.
四,微分的几何意义
若y=f(x)在点x处可微,则
Δy=f′(x)Δx+o(Δx)=dy+o(Δx)
图2-9
及PT中曲线y=f(x)在曲线上点P(x,y)处的切线斜率tanα=f′(x)
Δy=f(x+Δx)-f(x)=NQ
dy=f′(x)Δx=tanα Δx=NT
图2-10
o(Δx)=Δy-dy=NQ-NT=TQ
由dy≈Δy,即
NT≈NQ,则
|PT|=≈=|PQ|≈||
因此,当|Δx|很小时,可用线段NT近似代替NQ,或者说在P点邻近,可用切线段PT近似代替曲线弧.
§2.2 微分的基本性质
一,微分基本公式
由dy=f(x)dx,将导数公式表中每个导数乘上自变量的微分dx,便得相应的微分公式(公式略,请读者写出来).
二,微分的四则运算
定理 设u(x),v(x)在点x处均可微,则
u±v,uv,cu(c为常数), (v≠0)在点x处都可微,且
1. d(u±v)=du±dv
2. d(uv)=vdu+udv特别d(cu)=cdu(c为常数)
3. d()= (v≠0),特别d()=- (v≠0)
注:微分的四则运算与导数的四则运算类似,只须把导数四则运算中的导数改成微分,就可得到微分的四则运算.
证3 d()=()′dx=dx
== (v≠0)
三,一阶微分不变形
定理 若u=φ(x)在x处可微,y=f(u)在点u(u=φ(x))处可微,则复合函数
y=f(φ(x))在点x处可微,且
dy=f′(u)du
证:由复合函数的求导法则知,y=f(φ(x))在点x处可导,所以在点x处可微,且
dy[WB]=f′(φ(x))φ′(x)dx
=f′(φ(x))dφ′(x)
=f′(u)du
dy=f′(u)du,即这里u是中间变量,它与当x是自变量,y=f(x)在点x处可微,dy=f′(x)dx形式一样.我们称之为微分的一阶不变性.
例1. y=e
解法一 由y′=ecos (x2+)·(2x+)
于是 dy=y′dx=ecos (x2+)(2x+)dx
解法2 利用微分的四则运算和微分一阶不变性
dy=de=edsin(x2+)
=ecos (x2+)d(x2+)
=ecos (x2+)[d(x2)+d]
=ecos (x2+)[2xdx+dx]
=ecos(x2+)(2x+)dx
从这里也可得到y′=ecos (x2+)(2x+)
例2. 求由方程2y-x=(x-y) ln(x-y)所确定的函数y=y(x)的微分dy
解 对方程两端求微分
d(2y-x)=ln (x-y)d(x-y)-(x-y)dln(x-y)得
2dy-dx=ln(x-y)(dx-dy)-(dx-dy)解出dy,有
dy=dx
例3. 利用微分求,
解:====y′
从这里可以看出,只要求ψ′(t),φ′(t)存在且φ′(t)≠0,存在
===dt
=
§2.3 近似计算与误差估计
一,近似计算
若y=f(x)在点x0处可微,即
Δy=f(x0+Δx)-f(x0)≈f′(x0)Δx+o(Δx) (Δx→0)
当|Δx|很小时,有
Δy≈f′(x0)Δx (1)
即f(x0+Δx))-f(x0)≈f′(x0)Δx,则
f(x0+Δx)≈f(x0)+f′(x0)Δx (2)
(1)式为我们提供计算Δy近似值的公式
(2)式为我们提供计算f(x0+Δx)近似值的公式
特别x0=0有f(Δx)≈f(0)+f′(0)Δx
设Δx=x,若|x|很小时,有
f(x)≈f(0)+f′(0)x,于是当|x|很小时
sin≈xtsx≈x,ln (1+x)≈x
ex≈1+x,(1+x)α≈1+αx (α≠0)
与我们前面讲的等价无穷小量完全一致.
例4. 计算的近似值
解 设f(x)= f′(x)=x,f′(1)=
由=f(1.002)=f(1+0.002)
≈f(1)+f′(1)×0.002
=1=×0.002=1.00002
二,误差估计
从微分概念的引入可知,应用微分来估计误差,是非常方便迅速的.设x0为准确数,x*为近似的数,则x*-x0=Δx称为准确数x0的绝对误差限,若存在正数δx,使|x*-x0|=|Δx|≤δx,则称δx为绝对误差限.称 (或)为准确数的相对误差,而 (或)为相对误差限.
若y=f(x),则
|Δy|≈|dy|=|f′(x0)Δx|≤|f′(x0)|δxδy
于是δy=|f′(x0)|δx或|f′(x*)|δx称为y的绝对误差限
=δx或δx称为y的相对误差限.
例5. 为了计算出球的体积精确到1%,问度量球的直径D所允许的最大相对误差是多少
解 球的体积v= ()3=由
dv=dD,于是
==3由≤1%有
3≤1%,即≤%≈0.33%
§2.4* 高阶微分
若y=f(x)在区间X上可微(x为自变量),则
dy=f′(x)dx
这里dy不仅与x有关,与dx=Δx也有关,而Δx是与x无关的一个量.我现在是研究dy与x之间的关系.因此,在这里Δx相对于x来说是个常数,所以dy是x的函数,如果dy又可微即f〃(x)存在,则d(dy)=d(f′(x)dx)=d(f′(x))dx=f〃(x)dxdx=f〃(x)dx2称为f(x)的二阶微分,记作d2y,即
d2y=f〃(x)dx2
一般地若dn-1y=f(n-1)(x)dxn-1可微,即f(n)(x)存在
则d(dn-1y)=d(f(n-1) (x)dxn-1)=d(f(n-1)(x))dxn-1
=f(n)(x)dx·dxn-1=f(n)(x)dxn称为f(x)的n阶微分,记作dny,即dny=f(n)(x)dxn则
=f(n)(x) (x为自变量)
因此f(n)(x)可看成dny与dxn的商,又称n阶微商.
我们知道不论u是中间变量,还是自变量,f′(u)存在(若u是中间变量,u′(x)存在)都有一阶微分不变性.
dy=f′(u)du
二阶有没有微分不变性呢,若x是自变量,f〃(x)存在,则
d2y=f〃(x)dx2
若y=f(u),u=φ(x)且f〃(u),φ〃都存在
由 dy=f′(u)du,于是
d2y=d(dy)=d(f′(u)du)=du·df′(u)+f′(u)d(du)
=f〃(u)du du+f′(u)d2u
=f〃(u)du2+f′(u)d2u
由 du=dφ(x)=φ′(x)dx
d2u=φ〃(x)dx2,一般情况下d2u 0
同样 f′(u)d2u0
因此,不具有二阶微 不变性,因此n>1,不具有微不变性,若u是中间变量
=f(n)(u),仅表示对u的n阶导数.
但只能看成一个整体符号,不能看成商
注:d(x2),dx2,d2x的区别
d(x2)=2xdx,dx2=(dx)2
d2x=d(dx) 0
一,微分概念的引入
在实际测量中,由于受到仪器精度的限制,往往会产生误差.例如x0为准确数,实际测量出是x*=x0+Δx为x0的近似数,由此产生的误差为Δx相应产生的函数值的误差Δy=f(x0+Δx)-f(x0),往往需要估计Δy的值.如果f(x0+Δx),f(x0)计算很复杂.因此计算Δy也很麻烦或者实际中只知道近似数x*与误差|Δx|≤δ,又如何估计Δy
假设f′(x)存在,则
==f′(x0),有
=f′(x0)+α,α=0,于是
Δy=f′(x0)Δx+αΔx,而=0 (1)即 αΔx=0(Δx)(Δx→0)因此,当|Δx|很小时,
Δy≈f′(x0)Δx
在实际中如果不知道x0,只知道x*,由x0,x*相差很小,则
Δy≈f′(x*)Δx,从而可以估计出Δy.
从(1)式我们看到,f′(x0)相对Δx是一个常数,αΔx是Δx的高阶无穷小,如果Δy=AΔx+0(Δx)(Δx→0),则Δy≈AΔx,由此得到微分的概念.
二,微分的概念
定义 设y=f(x)在x0的某领域U(x0)内有定义,若
Δy=f(x+Δx)-f(x)可表示为
Δy=AΔx+o(Δx) (Δx→0)
其中A是写Δx无关的常数,AΔx称为Δy的线性部.则称y=f(x)在点x处可微,称线性部AΔx为y=f(x)在点x处的微分,记为dy,即dy=AΔx.
三,可微与可导的关系
从概念的引入,我们可以看到可导必可微,反之也是正确的.因此有
定理 函数y=f(x)在点x可微的充要条件是函数y=f(x)在点x处可导.且A=f′(x).
证 充分性,由f(x)在点x处可导,有
=f′(x),于是
=f′(x)+α,其中α=0,有
Δy=f′(x)Δx+αΔx,由=0,有αΔx=o(Δx)(Δx→0)
所以
Δy=f′(x)Δx+o(Δx) (Δx→0)
因此,y=f(x)在点x处可微且f′(x)=A.
必要性 由y=f(x)在点x处可微,由定义知
Δy=AΔx+0(Δx) (Δx→0),A与Δx无关.
由=[A+]=A=f′(x)
所以y=f(x)在点x处可导.
于是,若y=f(x)在点x处可微,则
dy=AΔx,由A=f′(x),有
dy=f′(x)Δx
由函数x在x处可微,则dx=(x)′Δx=Δx,即自变量的改变量等于自变量的微分,因此
dy=f′(x)dx等价于=f′(x)
由此可见,导数f′(x)等于函数y=f(x)的微分dy与自变量x的微分dx的商.因此,导数又称为微商,这时不仅可以看成一个整体记号,也可以看成dy与dx的商.
下面举几个例子,来说明微分的一些实际意义
圆面积S=πr2,其中r为圆半径,则
图2-6
ΔS=π(r+Δr) 2-πr2=2πrΔr+π(Δr) 2
ds=2πrΔr=2πrdr
当半径有增量Δr时,圆面积的增量ΔS,如图中圆环表示,用微分ds近似它即以边长为2πr(圆)环内圆长)高为圆环厚度dr的长方形面积来近似.如图2-7
图2-7
(2)圆柱体体积V=πr2h,其中r为圆柱体的底面半径,h为圆柱的高
Δv=π(r+Δr) 2h-πr2h
=2πrhΔhΔr+πh(Δr) 2
dv=2πrhΔr=2πrhdr
图2-8
当底面半径有增量Δr时,圆柱体的增量Δv,如图中空心圆柱表示,用微分dv近似,即底面长为2πr(内圆柱底面周长)宽为h(圆柱的高)高为圆柱厚度Δr的长方体体积.如图2-9
(3)球的体积v=πr3(其中r为地球半径),当半径有增量Δr时,球体积的增量(即薄球壳的体积Δv)
ΔV=π(r+Δr)3-πr3
=π[r3+3r2Δr+3rΔr3-πr3]
=4πr2Δr+(4rπΔr+πΔr2)Δr
dv=4πr2Δr
即薄球壳的体积Δv用微分dv近似即以球壳内球面面积4πr2与厚dr的乘积来近似.
四,微分的几何意义
若y=f(x)在点x处可微,则
Δy=f′(x)Δx+o(Δx)=dy+o(Δx)
图2-9
及PT中曲线y=f(x)在曲线上点P(x,y)处的切线斜率tanα=f′(x)
Δy=f(x+Δx)-f(x)=NQ
dy=f′(x)Δx=tanα Δx=NT
图2-10
o(Δx)=Δy-dy=NQ-NT=TQ
由dy≈Δy,即
NT≈NQ,则
|PT|=≈=|PQ|≈||
因此,当|Δx|很小时,可用线段NT近似代替NQ,或者说在P点邻近,可用切线段PT近似代替曲线弧.
§2.2 微分的基本性质
一,微分基本公式
由dy=f(x)dx,将导数公式表中每个导数乘上自变量的微分dx,便得相应的微分公式(公式略,请读者写出来).
二,微分的四则运算
定理 设u(x),v(x)在点x处均可微,则
u±v,uv,cu(c为常数), (v≠0)在点x处都可微,且
1. d(u±v)=du±dv
2. d(uv)=vdu+udv特别d(cu)=cdu(c为常数)
3. d()= (v≠0),特别d()=- (v≠0)
注:微分的四则运算与导数的四则运算类似,只须把导数四则运算中的导数改成微分,就可得到微分的四则运算.
证3 d()=()′dx=dx
== (v≠0)
三,一阶微分不变形
定理 若u=φ(x)在x处可微,y=f(u)在点u(u=φ(x))处可微,则复合函数
y=f(φ(x))在点x处可微,且
dy=f′(u)du
证:由复合函数的求导法则知,y=f(φ(x))在点x处可导,所以在点x处可微,且
dy[WB]=f′(φ(x))φ′(x)dx
=f′(φ(x))dφ′(x)
=f′(u)du
dy=f′(u)du,即这里u是中间变量,它与当x是自变量,y=f(x)在点x处可微,dy=f′(x)dx形式一样.我们称之为微分的一阶不变性.
例1. y=e
解法一 由y′=ecos (x2+)·(2x+)
于是 dy=y′dx=ecos (x2+)(2x+)dx
解法2 利用微分的四则运算和微分一阶不变性
dy=de=edsin(x2+)
=ecos (x2+)d(x2+)
=ecos (x2+)[d(x2)+d]
=ecos (x2+)[2xdx+dx]
=ecos(x2+)(2x+)dx
从这里也可得到y′=ecos (x2+)(2x+)
例2. 求由方程2y-x=(x-y) ln(x-y)所确定的函数y=y(x)的微分dy
解 对方程两端求微分
d(2y-x)=ln (x-y)d(x-y)-(x-y)dln(x-y)得
2dy-dx=ln(x-y)(dx-dy)-(dx-dy)解出dy,有
dy=dx
例3. 利用微分求,
解:====y′
从这里可以看出,只要求ψ′(t),φ′(t)存在且φ′(t)≠0,存在
===dt
=
§2.3 近似计算与误差估计
一,近似计算
若y=f(x)在点x0处可微,即
Δy=f(x0+Δx)-f(x0)≈f′(x0)Δx+o(Δx) (Δx→0)
当|Δx|很小时,有
Δy≈f′(x0)Δx (1)
即f(x0+Δx))-f(x0)≈f′(x0)Δx,则
f(x0+Δx)≈f(x0)+f′(x0)Δx (2)
(1)式为我们提供计算Δy近似值的公式
(2)式为我们提供计算f(x0+Δx)近似值的公式
特别x0=0有f(Δx)≈f(0)+f′(0)Δx
设Δx=x,若|x|很小时,有
f(x)≈f(0)+f′(0)x,于是当|x|很小时
sin≈xtsx≈x,ln (1+x)≈x
ex≈1+x,(1+x)α≈1+αx (α≠0)
与我们前面讲的等价无穷小量完全一致.
例4. 计算的近似值
解 设f(x)= f′(x)=x,f′(1)=
由=f(1.002)=f(1+0.002)
≈f(1)+f′(1)×0.002
=1=×0.002=1.00002
二,误差估计
从微分概念的引入可知,应用微分来估计误差,是非常方便迅速的.设x0为准确数,x*为近似的数,则x*-x0=Δx称为准确数x0的绝对误差限,若存在正数δx,使|x*-x0|=|Δx|≤δx,则称δx为绝对误差限.称 (或)为准确数的相对误差,而 (或)为相对误差限.
若y=f(x),则
|Δy|≈|dy|=|f′(x0)Δx|≤|f′(x0)|δxδy
于是δy=|f′(x0)|δx或|f′(x*)|δx称为y的绝对误差限
=δx或δx称为y的相对误差限.
例5. 为了计算出球的体积精确到1%,问度量球的直径D所允许的最大相对误差是多少
解 球的体积v= ()3=由
dv=dD,于是
==3由≤1%有
3≤1%,即≤%≈0.33%
§2.4* 高阶微分
若y=f(x)在区间X上可微(x为自变量),则
dy=f′(x)dx
这里dy不仅与x有关,与dx=Δx也有关,而Δx是与x无关的一个量.我现在是研究dy与x之间的关系.因此,在这里Δx相对于x来说是个常数,所以dy是x的函数,如果dy又可微即f〃(x)存在,则d(dy)=d(f′(x)dx)=d(f′(x))dx=f〃(x)dxdx=f〃(x)dx2称为f(x)的二阶微分,记作d2y,即
d2y=f〃(x)dx2
一般地若dn-1y=f(n-1)(x)dxn-1可微,即f(n)(x)存在
则d(dn-1y)=d(f(n-1) (x)dxn-1)=d(f(n-1)(x))dxn-1
=f(n)(x)dx·dxn-1=f(n)(x)dxn称为f(x)的n阶微分,记作dny,即dny=f(n)(x)dxn则
=f(n)(x) (x为自变量)
因此f(n)(x)可看成dny与dxn的商,又称n阶微商.
我们知道不论u是中间变量,还是自变量,f′(u)存在(若u是中间变量,u′(x)存在)都有一阶微分不变性.
dy=f′(u)du
二阶有没有微分不变性呢,若x是自变量,f〃(x)存在,则
d2y=f〃(x)dx2
若y=f(u),u=φ(x)且f〃(u),φ〃都存在
由 dy=f′(u)du,于是
d2y=d(dy)=d(f′(u)du)=du·df′(u)+f′(u)d(du)
=f〃(u)du du+f′(u)d2u
=f〃(u)du2+f′(u)d2u
由 du=dφ(x)=φ′(x)dx
d2u=φ〃(x)dx2,一般情况下d2u 0
同样 f′(u)d2u0
因此,不具有二阶微 不变性,因此n>1,不具有微不变性,若u是中间变量
=f(n)(u),仅表示对u的n阶导数.
但只能看成一个整体符号,不能看成商
注:d(x2),dx2,d2x的区别
d(x2)=2xdx,dx2=(dx)2
d2x=d(dx) 0
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