已知p是奇质数,1+1/2+1/3+…+1/p-1=a/b,求证：分子a能被p整除1/(p-1)-1=1/p-2那么你认为p-1是质数

Question

已知p是奇质数,1+1/2+1/3+…+1/p-1=a/b,求证：分子a能被p整除
1/(p-1)-1=1/p-2那么你认为p-1是质数

Answer 1

先通分,取分母B=(p-1)!,为了方便,令T＝p-1
分子A＝T!/1+T!/2+...+T!/T
则a/b=A/B
显然A中各项的分母i与j不同时：T!/i 与T!/j除以p余数不可能相等(因为T!/i-T!/j=T!(i-j)/ij不可能是p的倍数）,且A的各项也不是p的倍数.
所以A中各项除以p的余数分别（顺序不同）是1,2,.,(p-1)各有一个.
A除以p的余数与1+2+.+(p-1)=p(p-1)/2相同,所以A是p的倍数.
而分母B显然没有素数因子p,不可能被约去.
所以a中必有素数因子p.