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(2011•江西模拟)在四棱锥P-ABCD中,PA⊥面ABCD,底面ABCD为正方形,PA=AB=1,E是PD的中点.(1)求证:PB∥平面ACE;(2)求证:PC⊥BD;(3)求四棱锥P-ABCD的表面积.
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(2011•江西模拟)在四棱锥P-ABCD中,PA⊥面ABCD,底面ABCD为正方形,PA=AB=1,E是PD的中点.
(1)求证:PB∥平面ACE;
(2)求证:PC⊥BD;
(3)求四棱锥P-ABCD的表面积.
(1)求证:PB∥平面ACE;
(2)求证:PC⊥BD;
(3)求四棱锥P-ABCD的表面积.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:连接BD交AC于点O,连接EO.
∵O为BD中点,E为PD中点,
∴EO∥PB.
∵EO⊂平面AEC,PB⊄平面AEC,
∴PB∥平面AEC.
(2)∵四边形ABCD是正方形∴BD⊥AC,
∵PA⊥平面ABCD,∴BD⊥PA,
∵PA∩AC=A,AC⊂平面PAC,PA⊂平面PAC
∴BD⊥平面PAC
∵PC⊂平面PAC
∴PC⊥BD
(3)由题意得:
∵CD⊥AD,CD⊥PA,∴CD⊥平面PAD
∵PD⊂平面PAC∴CD⊥PD
所以△PCD是直角三角形
因为PA=AB=1所以S△PCD=
同理CB⊥PB即得到S△BCP=
.
因为PA⊥面ABCD,底面ABCD为正方形
所以S△ABP=
,S△ADP=
,SABCD=1
所以四棱锥P-ABCD的表面积为
+2.
∵O为BD中点,E为PD中点,
∴EO∥PB.
∵EO⊂平面AEC,PB⊄平面AEC,
∴PB∥平面AEC.
(2)∵四边形ABCD是正方形∴BD⊥AC,
∵PA⊥平面ABCD,∴BD⊥PA,
∵PA∩AC=A,AC⊂平面PAC,PA⊂平面PAC
∴BD⊥平面PAC
∵PC⊂平面PAC
∴PC⊥BD
(3)由题意得:
∵CD⊥AD,CD⊥PA,∴CD⊥平面PAD
∵PD⊂平面PAC∴CD⊥PD
所以△PCD是直角三角形
因为PA=AB=1所以S△PCD=
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同理CB⊥PB即得到S△BCP=
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因为PA⊥面ABCD,底面ABCD为正方形
所以S△ABP=
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所以四棱锥P-ABCD的表面积为
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