已知f（x）=-x2+ax-4（a＞0）对于x∈[1，3]恒小于或等于零．（Ⅰ）求正数a的值所组成的集合A；（Ⅱ）设关于x的方程f（x）+6=0的两个根为x1、x2，若对任意x∈A及t∈[-1，1]，不等式m2+tm-2+26≥|x1-x|

Question

已知f（x）=-x²+ax-4（a＞0）对于x∈[1，3]恒小于或等于零．
（Ⅰ）求正数a的值所组成的集合A；
（Ⅱ）设关于x的方程f（x）+6=0的两个根为x₁、x₂，若对任意x∈A及t∈[-1，1]，不等式m²+tm-2+2√(6)≥|x₁-x|恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=-x²+ax-4（a＞0）对于x∈[1，3]恒小于或等于零．
∴a≤x+(4)/(x)对x∈[1，3]恒成立．
∵x+(4)/(x)≥4（当且仅当x=2时，等号成立），
∴0＜a≤4，
∴A=（0，4]．
（Ⅱ）方程f（x）+6=0可化为x²-ax-2=0，
∵△=a²+8＞0，
∴x₁、x₂是方程方程f（x）+6=0的两个不同的根；
∴x₁+x₂=a，x₁•x₂=-2，
∴|x₁-x₂|=√(a2+8)，
∵0＜a≤4，∴2√(2)＜|x1−x2|＝√(a2+8)≤2√(6)．
∴不等式m2+tm−2+2√(6)≥|x1−x2|对任意x∈A及t∈[-1，1]恒成立可化为
m²+tm-2≥0对任意t∈[-1，1]恒成立，
设g（t）=m²+tm-2=mt+（m²-2），
则√(g(−作业帮用户2016-11-18举报问题解析（Ⅰ）化简f（x）=-x2+ax-4（a＞0）对于x∈[1，3]恒小于或等于零得a≤x+(4)/(x)，从而求出集合A；（Ⅱ）用韦达定理求|x1-x2|，化简不等式化为函数最值问题．名师点评本题考点：函数恒成立问题．考点点评：本题考查了解决恒成立问题的两种方法，独立参数法和转化为函数最值的方法，属于难题．扫描下载二维码©2020 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)