(1)设a、b、c都是正数,求证：bc/a+ca/b+ab/c-a-b-c≥0(2)已知a、b、c∈R,求证a²+b²+c²+4≥ab+3b+2c太天才了第一题你是怎么想到的额？

Question

(1)设a、b、c都是正数,求证：bc/a+ca/b+ab/c-a-b-c≥0
(2)已知a、b、c∈R,求证a²+b²+c²+4≥ab+3b+2c
太天才了 第一题你是怎么想到的额？

Answer 1

(1)
由基本不等式x^2+y^2≥2xy
(bc/2a)+(ac/2b)≥2√[(bc/2a)(ac/2b)]=2√(abc^2/4ab)=c
(bc/2a)+(ab/2c)≥2√[(bc/2a)(ab/2c)]=2√(acb^2/4ac)=b
(ac/2b)+(ab/2c)≥2√[(ac/2b)(ab/2c)]=2√(bca^2/4bc)=a
三式相加即得:
(bc/a)+(ac/b)+(ab/c)≥a+b+c
即bc/a+ca/b+ab/c-a-b-c≥0
取等号时a=b=c
(2)
作差
a^2+b^2+c^2+4-ab-3b-2c
=a^2-ab+1/4b^2+3/4b^2-3b+c^2-2c+4
=(a-1/2b)^2+3/4(b-2)^2+(c-1)^2
≥0+0+0
=0
因此a^2+b^2+c^2≥4ab+3b+2c
取等号时a=1 b=2 c=1