求函数y=x2+1x的单调区间、凹凸区间、极值点和拐点．

Question

求函数y=x²+(1)/(x)的单调区间、凹凸区间、极值点和拐点．

Answer 1

函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
令y′＝2x−(1)/(x2)＝(2x3−1)/(x2)＝0，得驻点x1＝

3

(1)/(2)

．
当x＞

3

(1)/(2)

时，y′＞0，函数单调增加，当x＜

3

(1)/(2)

时，y′＜0，函数单调减少．
所以函数的单调增区间为[

3

(1)/(2)

，+∞），单调减区间为（-∞，0）和（0，

3

(1)/(2)

]．
x1＝

3

(1)/(2)

为函数的极小值点．
令y″＝2+(2)/(x3)＝(2(x3+1))/(x3)＝0，得x₂=-1，
当x＞0 或x＜-1 时，y″＞0，曲线y=x2+(1)/(x) 为凹的，
当-1＜x＜0 时，y″＜0，曲线y=x2+(1)/(x)为凸的，
所以曲线y=x2+(1)/(x) 的凹区间为 （-∞，-1]和（0，+∞），凸区间为[-1，0），
曲线的拐点为（-1，0）．