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已知a>0且a≠1,函数f(x)=loga(1-ax).(1)求函数f(x)的定义域,并判断f(x)的单调性;(2)若n∈N*,求limn→∞af(n)an+a;(3)当a=e(e为自然对数的底数)时,设h(x)=(1-ef(x))
题目详情
已知a>0且a≠1,函数f(x)=loga(1-ax).
(1)求函数f(x)的定义域,并判断f(x)的单调性;
(2)若n∈N*,求
;
(3)当a=e(e为自然对数的底数)时,设h(x)=(1-ef(x))(x2-m+1).若函数的极值存在,求实数m的取值范围以及函数h(x)的极值.
(1)求函数f(x)的定义域,并判断f(x)的单调性;
(2)若n∈N*,求
lim |
n→∞ |
af(n) |
an+a |
(3)当a=e(e为自然对数的底数)时,设h(x)=(1-ef(x))(x2-m+1).若函数的极值存在,求实数m的取值范围以及函数h(x)的极值.
▼优质解答
答案和解析
(1)由题意知,1-ax>0
所以当0<a<1时,f(x)的定义域是(0,+∞),a>1时,f(x)的定义域是(-∞,0),
f′(x)=
•lo
=
当0<a<1时,x∈(0,+∞),因为ax-1<0,ax>0,故f'(x)<0,所以f(x)是减函数.
当a>1时,x∈(-∞,0),因为ax-1<0,ax>0,故f'(x)<0,所以f(x)是减函数.
(2)因为f(n)=loga(1-an),所以af(n)=1-an,由函数定义域知1-an>0,因为n是正整数,故0<a<1,
所以
=
=
.
(3)h(x)=ex(x2-m+1)(x<0),所以h'(x)=ex(x2+2x-m+1),令h'(x)=0,即x2+2x-m+1=0,由题意应有△≥0,即m≥0.
①当m=0时,h'(x)=0有实根x=-1,在x=-1点左右两侧均有h'(x)>0,故h(x)无极值.
②当0<m<1时,h'(x)=0有两个实根x1=−1−
,x2=−1+
.当x变化时,h'(x)的变化情况如下表:
∴h(x)的极大值为2e−1−
(1+
),h(x)的极小值为2e−1+
(1−
).
③当m≥1时,h'(x)=0在定义域内有一个实根x=−1−
.
同上可得h(x)的极大值为2e−1−
(1+
).
综上所述,m∈(0,+∞)时,函数h(x)有极值.
当0<m<1时,h(x)的极大值为2e−1−
(1+
),h(x)的极小值为2e−1+
(1−
).
当m≥1时,h(x)的极大值为2e−1−
(1+
).
所以当0<a<1时,f(x)的定义域是(0,+∞),a>1时,f(x)的定义域是(-∞,0),
f′(x)=
−axlna |
1−ax |
g | e a |
ax |
ax−1 |
当0<a<1时,x∈(0,+∞),因为ax-1<0,ax>0,故f'(x)<0,所以f(x)是减函数.
当a>1时,x∈(-∞,0),因为ax-1<0,ax>0,故f'(x)<0,所以f(x)是减函数.
(2)因为f(n)=loga(1-an),所以af(n)=1-an,由函数定义域知1-an>0,因为n是正整数,故0<a<1,
所以
lim |
n→∞ |
af(n) |
an+a |
lim |
n→∞ |
1−an |
an+a |
1 |
a |
(3)h(x)=ex(x2-m+1)(x<0),所以h'(x)=ex(x2+2x-m+1),令h'(x)=0,即x2+2x-m+1=0,由题意应有△≥0,即m≥0.
①当m=0时,h'(x)=0有实根x=-1,在x=-1点左右两侧均有h'(x)>0,故h(x)无极值.
②当0<m<1时,h'(x)=0有两个实根x1=−1−
m |
m |
x | (-∞,x1) | x1 | (x1,x2) | x2 | (x2,0) |
h′(x) | + | 0 | - | 0 | + |
h(x) | 递增 | 极大值 | 递减 | 极小值 | 递增 |
m |
m |
m |
m |
③当m≥1时,h'(x)=0在定义域内有一个实根x=−1−
m |
同上可得h(x)的极大值为2e−1−
m |
m |
综上所述,m∈(0,+∞)时,函数h(x)有极值.
当0<m<1时,h(x)的极大值为2e−1−
m |
m |
m |
m |
当m≥1时,h(x)的极大值为2e−1−
m |
m |
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