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急!已知曲线C上的动点P到点F(2,0)的距离比到直线X=-1距离大1(1),求曲线C的方程(2)过点F(2,0)且倾斜角为a(0<a<90°)的直线与曲线C交于A,B两点,线段AB垂直平分线m 交x 轴于点p证明/FP/-/FP
题目详情
急!已知曲线C上的动点P到点F(2,0)的距离比到直线X=-1距离大1
(1),求曲线C的方程
(2)过点F(2,0)且倾斜角为a(0<a<90°)的直线与曲线C交于A,B两点,线段AB垂直平分线m 交x 轴于点p证明/FP/-/FP/*cos2a为定值
(1),求曲线C的方程
(2)过点F(2,0)且倾斜角为a(0<a<90°)的直线与曲线C交于A,B两点,线段AB垂直平分线m 交x 轴于点p证明/FP/-/FP/*cos2a为定值
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答案和解析
设动点P(x,y),动点P到点F(2,0)的距离比它到直线x=-1的距离多1,即动点P到点F(2,0)的距离等于它到直线x=-2的距离
∴根号(x−2)2+y2
=|x+2|
两边平方(x-2)²+y²=(x+2²化简可得:y²=8x
(II)证明:如图,作AC⊥l,BD⊥l,设A,B的横坐标分别为xA,xB
则|FA|=|AC|=xA+p/2=|FA|cosα+4,解得|FA|=4/1−cosα
同理|FB|=4-|FB|cosα,解得|FB|=4/1+cosα
记m与AB的交点为E,则|FE|=|FA|-|AE|=|FA|−1/2|AB|=1/2(4/1−cosα − 4/1+cosα)=4cosα /sin²α
∴|FP|=|FE|/cosα= 4/sin²α
故|FP|−|FP|•cos2α= 4/sin²α (1−cos2α)=8
即FP|-|FP|•cos2α为定值,定值为8.
∴根号(x−2)2+y2
=|x+2|
两边平方(x-2)²+y²=(x+2²化简可得:y²=8x
(II)证明:如图,作AC⊥l,BD⊥l,设A,B的横坐标分别为xA,xB
则|FA|=|AC|=xA+p/2=|FA|cosα+4,解得|FA|=4/1−cosα
同理|FB|=4-|FB|cosα,解得|FB|=4/1+cosα
记m与AB的交点为E,则|FE|=|FA|-|AE|=|FA|−1/2|AB|=1/2(4/1−cosα − 4/1+cosα)=4cosα /sin²α
∴|FP|=|FE|/cosα= 4/sin²α
故|FP|−|FP|•cos2α= 4/sin²α (1−cos2α)=8
即FP|-|FP|•cos2α为定值,定值为8.
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