已知角A∈（π2，π），且sinA、cosA是一元二次方程25x2-5x+m=0的两个实根．（1）求实数m的值；（2）求M=sin2AtanA+cos2AtanA-1−sinA−cosAsinAcosA的值．

Question

已知角A∈（(π)/(2)，π），且sinA、cosA是一元二次方程25x²-5x+m=0的两个实根．
（1）求实数m的值；
（2）求M=sin²AtanA+(cos2A)/(tanA)-(1−sinA−cosA)/(sinAcosA)的值．

Answer 1

（1）由题设知：

sinA+cosA＝(1)/(5)

sinAcosA＝(m)/(25)

，
因为（sinA+cosA）²=1+2sinAcosA，
所以(1)/(25)＝1+(2m)/(25)，解得m=-12；
（2）将m=-12代入原方程得25x²-5x-12=0，
解得方程两根依次为(4)/(5)、−(3)/(5)，
由A∈((π)/(2)，π)得，sinA＞0、cosA＜0，
则sinA＝(4)/(5)、cosA＝−(3)/(5)．
则M＝sin2AtanA+(cos2A)/(tanA)−(1−sinA−cosA)/(sinAcosA)
=(sin3A)/(cosA)+(cos3A)/(sinA)+2sinAcosA−(1−sinA−cosA)/(sinAcosA)
=(sin4A+cos4A+2sin2Acos2A−1+sinA+cosA)/(sinAcosA)
=((sin2A+cos2A)2−1+sinA+cosA)/(sinAcosA)
=(sinA+cosA)/(sinAcosA)＝−(5)/(12)．