知函数f（x）=Inx+1-x/ax,其中a为大于0的常数.（1）若函数f（x）在区间（1,+∞）内单调递增,求a的取值范围,（2）并求函数f（x）在区间[1,2]上的最大值,最小值...

Question

知函数f（x）=Inx+1-x/ax,其中a为大于0的常数.（1）若函数f（x）在区间（1,+∞）内单调递增,求a的取值范围,（2）并求函数f（x）在区间[1,2]上的最大值,最小值...

Answer 1

(1)由已知：f'(x)=1／x＋(－ax－a(1－x))／(ax)²=1／x－1／(ax²)当x∈﹙1,+∞﹚时,f'(x)≥0恒成立!且由已知：a＞0,x＞0 ∴f'(x)≥0即1／x－1／(ax²)≥0即ax－1≥0 a≥1／x 又 x>1∴0<1／x＜1,a≥1即a∈[1,+∞﹚注意要对a=1这个临界点进行检验,当a=1时f'(x)=1／x－1／x²不恒为某一常数,故a∈[1,+∞﹚
（2）由(1)知：f'(x)=1／x－1／(ax²)令f'(x)=0 ∴x=1／a当x∈﹙0,1／a﹚时,f'(x)<0,f(x)单调减；当x∈﹙1／a,＋∞﹚时,f'(x)>0,f(x)单调增 且0＜1／a≤1∴函数f(x)的极小值f(1／a)
∴最小值f(1)=0 最大值f(2)=ln2-1/(2a)