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在四边形ABCD中,E、G分别是AD、BC的中点,F、H分别是BD、AC的中点.(1)当AB、CD满足什么条件时,四边形EFGH是矩形?(2)当AB、CD满足什么条件时,四边形EFGH是菱形?(3)当AB、CD满足什么
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在四边形ABCD中,E、G分别是AD、BC的中点,F、H分别是BD、AC的中点.
(1)当AB、CD满足什么条件时,四边形EFGH是矩形?
(2)当AB、CD满足什么条件时,四边形EFGH是菱形?
(3)当AB、CD满足什么条件时,四边形EFGH是正方形?
(1)当AB、CD满足什么条件时,四边形EFGH是矩形?
(2)当AB、CD满足什么条件时,四边形EFGH是菱形?
(3)当AB、CD满足什么条件时,四边形EFGH是正方形?
▼优质解答
答案和解析
(1)当AB⊥CD时,四边形EFGH是矩形.
证明:∵E、F分别是AD,BD的中点,G、H分别中BC,AC的中点,
∴EF∥AB,EF=
AB;GH∥AB,GH=
AB.
∴EF∥GH,EF=GH.
∴四边形EFGH是平行四边形,
∵AB⊥CD,
∴四边形EFGH是矩形.
(2)当AB=CD时,四边形EFGH是菱形.
证明:∵E、F分别是AD,BD的中点,H,G分别是AC,BC的中点,G、F分别是BC,BD的中点,E,H分别是AD,AC的中点,
∴EF=
AB,HG=
AB,FG=
CD,EH=
CD,
又∵AB=CD,
∴EF=FG=GH=EH,
∴四边形EFGH是菱形.
(3)答:当四边形ABCD满足AC=BD且AC⊥BD时,四边形EFGH为正方形,
证明:∵E、F分别是四边形ABCD的边AB、BC的中点,
∴EF∥AC,EF=
AB,
同理,EH∥BD,EH=
CD,GF=
CD,GH=
AB,
∵AC=BD
∴EF=EH=GH=GF,
∴平行四边形ABCD是菱形.
∵AC⊥BD,
∴EF⊥EH,
∴四边形EFGH是正方形.
证明:∵E、F分别是AD,BD的中点,G、H分别中BC,AC的中点,
∴EF∥AB,EF=
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∴EF∥GH,EF=GH.
∴四边形EFGH是平行四边形,
∵AB⊥CD,
∴四边形EFGH是矩形.
(2)当AB=CD时,四边形EFGH是菱形.
证明:∵E、F分别是AD,BD的中点,H,G分别是AC,BC的中点,G、F分别是BC,BD的中点,E,H分别是AD,AC的中点,
∴EF=
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又∵AB=CD,
∴EF=FG=GH=EH,
∴四边形EFGH是菱形.
(3)答:当四边形ABCD满足AC=BD且AC⊥BD时,四边形EFGH为正方形,
证明:∵E、F分别是四边形ABCD的边AB、BC的中点,
∴EF∥AC,EF=
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同理,EH∥BD,EH=
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∵AC=BD
∴EF=EH=GH=GF,
∴平行四边形ABCD是菱形.
∵AC⊥BD,
∴EF⊥EH,
∴四边形EFGH是正方形.
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