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己知:正方形ABCD.(1)如图1,点E、点F分别在边AB和AD上,且AE=AF.此时,线段BE、DF的数量关系和位置关系分别是什么?请直接写出结论.(2)如图2,等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针
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己知:正方形ABCD.
(1)如图1,点E、点F分别在边AB和AD上,且AE=AF.此时,线段BE、DF的数量关系和位置关系分别是什么?请直接写出结论.
(2)如图2,等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α,当0°<α<90°时,连接BE、DF,此时(1)中的结论是否成立,如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由.
(3)如图3,等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α,当α=90°时,连接BE、DF,猜想当AE与AD满足什么数量关系时,直线DF垂直平分BE.请直接写出结论.
(4)如图4,等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α,当90°<α<180°时,连接BD、DE、EF、FB得到四边形BDEF,如果其对角线DF的长度为
cm,那么四边形BDEF的面积是多少?请直接写出结论.
(1)如图1,点E、点F分别在边AB和AD上,且AE=AF.此时,线段BE、DF的数量关系和位置关系分别是什么?请直接写出结论.
(2)如图2,等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α,当0°<α<90°时,连接BE、DF,此时(1)中的结论是否成立,如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由.
(3)如图3,等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α,当α=90°时,连接BE、DF,猜想当AE与AD满足什么数量关系时,直线DF垂直平分BE.请直接写出结论.
(4)如图4,等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α,当90°<α<180°时,连接BD、DE、EF、FB得到四边形BDEF,如果其对角线DF的长度为
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答案和解析
(1)在正方形ABCD中,AB=AD,∠A=90°,
∵AE=AF,
∴AB-AE=AD-AF,
即BE=DF,
∵∠A=90°,
∴BE⊥DF,
故BE=DF,BE⊥DF;
(2)成立;
理由:如图②,∵△FAE是等腰直角三角形,
∴AE=AF,
在正方形ABCD中,AB=AD,
又∵∠BAE=∠DAF=α,
∴在△ABE和△ADF中,
,
∴△ABE≌△ADF(SAS),
∴BE=DF,∠ABE=∠ADF,
延长DF交BE于O,
∵∠ADF+∠1=90°,∠1=∠2(对顶角相等),
∴∠ABE+∠2=90°,
∴∠BOD=180°-90°=90°,
∴BE⊥DF,
故BE=DF,BE⊥DF;
(3)如图③,连接BD,
∵直线DF垂直平分BE,
∴AD+AE=BD,BD=
AD,
∴AE=(
-1)AD;
(4)如图④,连接BE、DF,
∵△FAE是等腰直角三角形,
∴AE=AF,
在正方形ABCD中,AB=AD,
又∵∠BAE=∠DAF=α,
∴在△ABE和△ADF中,
,
∴△ABE≌△ADF(SAS),
∴BE=DF,∠ABE=∠ADF,
设DF交BE于点P,
∵∠ADY+∠DYA=90°,∠DYA=∠BYP(对顶角相等),
∴∠ABE+∠BYP=90°,
∴BE⊥DF,
故BE=DF,BE⊥DF;
∴顺次连接四边形BDEF各边中点所组成的四边形是正方形.
∴四边形BDEF的面积是
×
∵AE=AF,
∴AB-AE=AD-AF,
即BE=DF,
∵∠A=90°,
∴BE⊥DF,
故BE=DF,BE⊥DF;
(2)成立;
理由:如图②,∵△FAE是等腰直角三角形,
∴AE=AF,
在正方形ABCD中,AB=AD,
又∵∠BAE=∠DAF=α,
∴在△ABE和△ADF中,
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∴△ABE≌△ADF(SAS),
∴BE=DF,∠ABE=∠ADF,
延长DF交BE于O,
∵∠ADF+∠1=90°,∠1=∠2(对顶角相等),
∴∠ABE+∠2=90°,
∴∠BOD=180°-90°=90°,
∴BE⊥DF,
故BE=DF,BE⊥DF;
(3)如图③,连接BD,
∵直线DF垂直平分BE,
∴AD+AE=BD,BD=
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∴AE=(
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(4)如图④,连接BE、DF,
∵△FAE是等腰直角三角形,
∴AE=AF,
在正方形ABCD中,AB=AD,
又∵∠BAE=∠DAF=α,
∴在△ABE和△ADF中,
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∴△ABE≌△ADF(SAS),
∴BE=DF,∠ABE=∠ADF,
设DF交BE于点P,
∵∠ADY+∠DYA=90°,∠DYA=∠BYP(对顶角相等),
∴∠ABE+∠BYP=90°,
∴BE⊥DF,
故BE=DF,BE⊥DF;
∴顺次连接四边形BDEF各边中点所组成的四边形是正方形.
∴四边形BDEF的面积是
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作业帮用户
2017-10-20
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