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(2006•锦州)如图,△ABC是等腰直角三角形,其中CA=CB,四边形CDEF是正方形,连接AF、BD.(1)观察图形,猜想AF与BD之间有怎样的关系,并证明你的猜想;(2)若将正方形CDEF绕点C按顺时针
题目详情
(2006•锦州)如图,△ABC是等腰直角三角形,其中CA=CB,四边形CDEF是正方形,连接AF、BD.
(1)观察图形,猜想AF与BD之间有怎样的关系,并证明你的猜想;
(2)若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转,使正方形CDEF的一边落在△ABC的内部,请你画出一个变换后的图形,并对照已知图形标记字母,题(1)中猜想的结论是否仍然成立?若成立,直接写出结论,不必证明;若不成立,请说明理由.
(1)观察图形,猜想AF与BD之间有怎样的关系,并证明你的猜想;
(2)若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转,使正方形CDEF的一边落在△ABC的内部,请你画出一个变换后的图形,并对照已知图形标记字母,题(1)中猜想的结论是否仍然成立?若成立,直接写出结论,不必证明;若不成立,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)猜想:AF=BD且AF⊥BD.(1分)
证明:设AF与DC交于点G.
∵FC=DC,AC=BC,∠BCD=∠BCA+∠ACD,
∠ACF=∠DCF+∠ACD,∠BCA=∠DCF=90°,
∴∠BCD=∠ACF.
∴△ACF≌△BCD.
∴AF=BD.(4分)
∴∠AFC=∠BDC.
∵∠AFC+∠FGC=90°,∠FGC=∠DGA,
∴∠BDC+∠DGA=90度.
∴AF⊥BD.(7分)
∴AF=BD且AF⊥BD.
(2)结论:AF=BD且AF⊥BD.
图形不惟一,只要符合要求即可.
画出图形得(1分),写出结论得(1分),此题共(2分).如:
①CD边在△ABC的内部时;②CF边在△ABC的内部时.
证明:设AF与DC交于点G.
∵FC=DC,AC=BC,∠BCD=∠BCA+∠ACD,
∠ACF=∠DCF+∠ACD,∠BCA=∠DCF=90°,
∴∠BCD=∠ACF.
∴△ACF≌△BCD.
∴AF=BD.(4分)
∴∠AFC=∠BDC.
∵∠AFC+∠FGC=90°,∠FGC=∠DGA,
∴∠BDC+∠DGA=90度.
∴AF⊥BD.(7分)
∴AF=BD且AF⊥BD.
(2)结论:AF=BD且AF⊥BD.
图形不惟一,只要符合要求即可.
画出图形得(1分),写出结论得(1分),此题共(2分).如:
①CD边在△ABC的内部时;②CF边在△ABC的内部时.
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