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如图1,△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,F是AC边上的一个动点(点F与A、C不重合),以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF,连接BF、AD.(1)①猜想图1中线段BF、AD的数量关系及所在
题目详情
如图1,△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,F是AC边上的一个动点(点F与A、C不重合),以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF,连接BF、AD.
(1)①猜想图1中线段BF、AD的数量关系及所在直线的位置关系,直接写出结论;
②将图1中的正方形CDEF,绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α,得到如图2、图3的情形.图2中BF交AC于点H,交AD于点O,请你判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断.
(2)将原题中的等腰直角三角形ABC改为直角三角形ABC,∠ACB=90°,正方形CDEF改为矩形CDEF,如图4,且AC=4,BC=3,CD=
,CF=1,BF交AC于点H,交AD于点O,连接BD、AF,求BD2+AF2的值.
(1)①猜想图1中线段BF、AD的数量关系及所在直线的位置关系,直接写出结论;
②将图1中的正方形CDEF,绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α,得到如图2、图3的情形.图2中BF交AC于点H,交AD于点O,请你判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断.
(2)将原题中的等腰直角三角形ABC改为直角三角形ABC,∠ACB=90°,正方形CDEF改为矩形CDEF,如图4,且AC=4,BC=3,CD=
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▼优质解答
答案和解析
(1)①BF=AD,BF⊥AD;
②BF=AD,BF⊥AD仍然成立,
证明:∵△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,
∴AC=BC,
∵四边形CDEF是正方形,
∴CD=CF,∠FCD=90°,
∴∠ACB+∠ACF=∠FCD+∠ACF,
即∠BCF=∠ACD,
在△BCF和△ACD中
∴△BCF≌△ACD(SAS),
∴BF=AD,∠CBF=∠CAD,
又∵∠BHC=∠AHO,∠CBH+∠BHC=90°,
∴∠CAD+∠AHO=90°,
∴∠AOH=90°,
∴BF⊥AD;
(2)证明:连接DF,
∵四边形CDEF是矩形,
∴∠FCD=90°,
又∵∠ACB=90°,
∴∠ACB=∠FCD
∴∠ACB+∠ACF=∠FCD+∠ACF,
即∠BCF=∠ACD,
∵AC=4,BC=3,CD=
,CF=1,
∴
=
=
,
∴△BCF∽△ACD,
∴∠CBF=∠CAD,
又∵∠BHC=∠AHO,∠CBH+∠BHC=90°
∴∠CAD+∠AHO=90°,
∴∠AOH=90°,
∴BF⊥AD,
∴∠BOD=∠AOB=90°,
∴BD2=OB2+OD2,AF2=OA2+OF2,AB2=OA2+OB2,DF2=OF2+OD2,
∴BD2+AF2=OB2+OD2+OA2+OF2=AB2+DF2,
∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,
∴AB2=AC2+BC2=32+42=25,
∵在Rt△FCD中,∠FCD=90°,CD=
,CF=1,
∴DF2=CD2+CF2=(
)2+12=
,
∴BD2+AF2=AB2+DF2=25+
=
.
②BF=AD,BF⊥AD仍然成立,
证明:∵△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,
∴AC=BC,
∵四边形CDEF是正方形,
∴CD=CF,∠FCD=90°,
∴∠ACB+∠ACF=∠FCD+∠ACF,
即∠BCF=∠ACD,
在△BCF和△ACD中
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∴△BCF≌△ACD(SAS),
∴BF=AD,∠CBF=∠CAD,
又∵∠BHC=∠AHO,∠CBH+∠BHC=90°,
∴∠CAD+∠AHO=90°,
∴∠AOH=90°,
∴BF⊥AD;
(2)证明:连接DF,
∵四边形CDEF是矩形,
∴∠FCD=90°,
又∵∠ACB=90°,
∴∠ACB=∠FCD
∴∠ACB+∠ACF=∠FCD+∠ACF,
即∠BCF=∠ACD,
∵AC=4,BC=3,CD=
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BC |
AC |
CF |
CD |
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∴△BCF∽△ACD,
∴∠CBF=∠CAD,
又∵∠BHC=∠AHO,∠CBH+∠BHC=90°
∴∠CAD+∠AHO=90°,
∴∠AOH=90°,
∴BF⊥AD,
∴∠BOD=∠AOB=90°,
∴BD2=OB2+OD2,AF2=OA2+OF2,AB2=OA2+OB2,DF2=OF2+OD2,
∴BD2+AF2=OB2+OD2+OA2+OF2=AB2+DF2,
∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,
∴AB2=AC2+BC2=32+42=25,
∵在Rt△FCD中,∠FCD=90°,CD=
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∴DF2=CD2+CF2=(
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∴BD2+AF2=AB2+DF2=25+
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