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如图所示,点A、C在等腰直角三角形HBE的直角边BH和BE上,且AB=BC,CF⊥HE.EF⊥AE于E.试探究线段AE、EF的数量关系,并证明你的结论.
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如图所示,点A、C在等腰直角三角形HBE的直角边BH和BE上,且AB=BC,CF⊥HE.EF⊥AE于E.试探究线段AE、EF的数量关系,并证明你的结论.
▼优质解答
答案和解析
AE=EF
证明:∵△BHE是等腰直角三角形,
∴∠H=∠HEB=45°,BH=BE,
∵CF⊥HE,
∴∠FCE=45°=∠H.
∵BA=BC,
∴BH-BA=BE-BC,
即HA=CE,
∵EF⊥AE,
∴∠AEF=∠B=90°,
∴∠HAE=∠B+∠BEA=∠AEF+∠BEA=∠CEF,
∴△HAE≌△CEF,
∴AE=EF.
证明:∵△BHE是等腰直角三角形,
∴∠H=∠HEB=45°,BH=BE,
∵CF⊥HE,
∴∠FCE=45°=∠H.
∵BA=BC,
∴BH-BA=BE-BC,
即HA=CE,
∵EF⊥AE,
∴∠AEF=∠B=90°,
∴∠HAE=∠B+∠BEA=∠AEF+∠BEA=∠CEF,
∴△HAE≌△CEF,
∴AE=EF.
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