（2013•静安区二模）如图所示，是磁流体动力发电机的工作原理图．一个水平放置的上下、前后封闭的矩形塑料管，其宽度为a，高度为b，其内充满电阻率为ρ的水银，由涡轮机产生的压强

Question

（2013•静安区二模）如图所示，是磁流体动力发电机的工作原理图． 一个水平放置的上下、前后封闭的矩形塑料管，其宽度为a，高度为b，其内充满电阻率为ρ的水银，由涡轮机产生的压强差p使得这个流体具有恒定的流速v₀．管道的前后两个侧面上各有长为L的由铜组成的面，实际流体的运动非常复杂，为简化起见作如下假设：
a．尽管流体有粘滞性，但整个横截面上的速度均匀；
b．流体的速度总是与作用在其上的合外力成正比；
c．导体的电阻：R=ρl/S，其中ρ、l和S分别为导体的电阻率、长度和横截面积；
d．流体不可压缩．
若由铜组成的前后两个侧面外部短路，一个竖直向上的匀强磁场只加在这两个铜面之间的区域，磁感强度为B（如图）．
（1）写出加磁场后，两个铜面之间区域的电阻R的表达式
（2）加磁场后，假设新的稳定速度为v，写出流体所受的磁场力F与v关系式，指出F的方向
（3）写出加磁场后流体新的稳定速度v的表达式（用v₀、p、L、B、ρ表示）；
（4）为使速度增加到原来的值v₀，涡轮机的功率必须增加，写出功率增加量的表达式（用v₀、a、b、L、B和ρ表示）．

Answer 1

（1）根据电阻定律得，R=ρ(a)/(bL)，
（2）∵F_A=BIa，
I＝(Bav)/(R)．
再利用（1）的结论，可推得
∴FA＝(1)/(ρ)abLvB2．
力F_A的方向与流速v的方向反向．
（3）不加磁场时：pab=kv₀．
加磁场时：pab-F_A=kv．
由上面二式，得FA＝pab−(pab)/(v0)v．
再利用（2）的结论，可推得
v＝(pρv0)/(pρ+Lv0B2)．
（4）∵△P=P₂-P₁，P₁=pabv₀，P₂=p′abv₀，
∴△P=（p′ab-pab）v₀．
∵p′ab-F_A′=kv₀，pab=kv₀，
∴△P=F_A′v₀．
∵FA′＝(1)/(ρ)abLv0B2．
∴△P＝(1)/(ρ)abLv02B2．
答：（1）两个铜面之间区域的电阻R的表达式R=ρ(a)/(bL)．
（2）流体所受的磁场力F与v关系式FA＝(1)/(ρ)abLvB2，力F_A的方向与流速v的方向反向．
（3）加磁场后流体新的稳定速度v的表达式v＝(pρv0)/(pρ+Lv0B2)．
（4）功率增加量的表达式△P＝(1)/(ρ)abLv02B2．