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(2009•沙市区二模)如图,四边形ABCD中,AD=CD,∠DAB=∠ACB=90°,过点D作DE⊥AC,垂足为F,DE与AB相交于点E.(1)求证:AB•AF=CB•CD;(2)已知AB=15cm,BC=9cm,P是射线DE上的动点,设DP=xcm(x>
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(2009•沙市区二模)如图,四边形ABCD中,AD=CD,∠DAB=∠ACB=90°,过点D作DE⊥AC,垂足为F,DE与AB相交于点E.
(1)求证:AB•AF=CB•CD;
(2)已知AB=15cm,BC=9cm,P是射线DE上的动点,设DP=xcm(x>0).当x为何值时,△PBC的周长最小.
(1)求证:AB•AF=CB•CD;
(2)已知AB=15cm,BC=9cm,P是射线DE上的动点,设DP=xcm(x>0).当x为何值时,△PBC的周长最小.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵∠DAB=90°,
∴∠DAF+∠BAC=90°.
∵DF⊥AC,
∴∠DAF+∠ADF=90°,
∴∠BAC=∠ADF,
又∵∠DFA=∠ACB,
∴△DFA∽△ACB.
∴
=
.
∴AF•AB=BC•AD.
∵AD=CD,
∴AB•AF=CB•CD.
(2)C△PBC=PB+PC+BC,
∵AD=CD,DF⊥AC,
∴DE是AC的垂直平分线.
∴PC=PA根据两点之间线段最短,当点P在AB上时,PA+PB最小即点P与E重合时,△PBC周长最小.
∵∠ACB=90°,
∴AC=
=12.
∴AF=
AC=6.
∵AF•AB=CB•AD,即6×15=9•AD,
∴AD=10.
∵FE是△ABC中位线,
∴AE=
AB=7.5.
∴DE=
=12.5.
∴x=12.5时,△PBC周长最小.
∴∠DAF+∠BAC=90°.
∵DF⊥AC,
∴∠DAF+∠ADF=90°,
∴∠BAC=∠ADF,
又∵∠DFA=∠ACB,
∴△DFA∽△ACB.
∴
AF |
BC |
AD |
AB |
∴AF•AB=BC•AD.
∵AD=CD,
∴AB•AF=CB•CD.
(2)C△PBC=PB+PC+BC,
∵AD=CD,DF⊥AC,
∴DE是AC的垂直平分线.
∴PC=PA根据两点之间线段最短,当点P在AB上时,PA+PB最小即点P与E重合时,△PBC周长最小.
∵∠ACB=90°,
∴AC=
AB2-BC2 |
∴AF=
1 |
2 |
∵AF•AB=CB•AD,即6×15=9•AD,
∴AD=10.
∵FE是△ABC中位线,
∴AE=
1 |
2 |
∴DE=
AD2+AE2 |
∴x=12.5时,△PBC周长最小.
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