设定义在（-∞,+∞）上的函数f(x)满足关系f（x+y）=f(x)+f(y),∀x,y∈（-∞,+∞）.求证:存在常求证：存在常数a，使得对任意有理数x，有f（x）=ax.

Question

设定义在（-∞,+∞）上的函数f (x)满足关系f（x+y）=f (x)+f (y),∀x,y∈（-∞,+∞）.求证:存在常
求证：存在常数a，使得对任意有理数x，有f（x）=ax.

Answer 1

（我只想到一种使用导数的解法,不知你有没有学到导数；应该可以用反证法）
令y=x=0,得f(0)=f(0)+f(0),即f(0)=0.
f(x+y)=f(x)+f(y),即f(x+y)-f(x)=f(y)-f(0),[f(x+y)-f(x)]/y=[f(y)-f(0)]/y,当y趋向于0时,得：f'(x)=f'(0),结合f(0)=0,可得f(x)=f'(0)x.