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定义:S为R的真子集,∀x,y∈S,若x+y∈S,x-y∈S,则称S对加减法封闭.有以下四个命题,请判断真假:①自然数集对加减法封闭;②有理数集对加减法封闭;③若有理数集对加减法封闭,
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定义:S为R的真子集,∀x,y∈S,若x+y∈S,x-y∈S,则称S对加减法封闭.有以下四个命题,请判断真假:
①自然数集对加减法封闭;
②有理数集对加减法封闭;
③若有理数集对加减法封闭,则无理数集也对加减法封闭;
④若S1,S2为R的两个真子集,且对加减法封闭,则必存在c∈R,使得c∉S1∪S2;
四个命题中为“真”的是②④②④.(填写序号)
①自然数集对加减法封闭;
②有理数集对加减法封闭;
③若有理数集对加减法封闭,则无理数集也对加减法封闭;
④若S1,S2为R的两个真子集,且对加减法封闭,则必存在c∈R,使得c∉S1∪S2;
四个命题中为“真”的是②④②④.(填写序号)
▼优质解答
答案和解析
对于①,因为存在x=1,y=2∈N,使x-y=-1∉N,故自然数集对减法不封闭,所以①不正确;
对于②,因为∀x,y∈Q,有x+y∈Q且x-y∈Q成立,故则有理数对加减法封闭,故②正确;
对于③,由前面的讨论知有理数集对加减法封闭,而存在x=
,y=-
∈{无理数},使x+y=0∉{无理数},
故无理数集对加减法不封闭,所以③不正确;
对于④,可设S1=Z,S2=Q,它们是R的两个真子集,且对加减法封闭,存在c=
∈R,且
∉S1∪S2,故④正确.
故答案为:②④
对于②,因为∀x,y∈Q,有x+y∈Q且x-y∈Q成立,故则有理数对加减法封闭,故②正确;
对于③,由前面的讨论知有理数集对加减法封闭,而存在x=
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故无理数集对加减法不封闭,所以③不正确;
对于④,可设S1=Z,S2=Q,它们是R的两个真子集,且对加减法封闭,存在c=
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故答案为:②④
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