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如图是一几何体的平面展开图,其中ABCD为正方形,E、F分别为PA、PD的中点.在此几何体中,给出下面四个结论:①直线BE与直线CF异面;②直线BE与直线AF异面;③直线EF∥平面PBC;④平面BCE
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如图是一几何体的平面展开图,其中ABCD为正方形,E、F分别为PA、PD的中点.在此几何体中,给出下面四个结论:
①直线BE与直线CF异面;
②直线BE与直线AF异面;
③直线EF∥平面PBC;
④平面BCE⊥平面PAD.
其中正确的命题的个数是______个.
①直线BE与直线CF异面;
②直线BE与直线AF异面;
③直线EF∥平面PBC;
④平面BCE⊥平面PAD.
其中正确的命题的个数是______个.
▼优质解答
答案和解析
由展开图恢复原几何体如图所示:
①在△PAD中,由PE=EA,PF=FD,根据三角形的中位线定理可得EF∥AD,
又∵AD∥BC,∴EF∥BC,
因此四边形EFBC是梯形,故直线BE与直线CF不是异面直线,所以①不正确;
②由点A不在平面EFCB内,直线BE不经过点F,根据异面直线的定义可知:直线BE与直线AF异面,所以②正确;
③由①可知:EF∥BC,EF⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,∴直线EF∥平面PBC,故③正确;
④如图:假设平面BCEF⊥平面PAD.
过点P作PO⊥EF分别交EF、AD于点O、N,在BC上取一点M,连接PM、OM、MN,
∴PO⊥OM,又PO=ON,∴PM=MN.
若PM≠MN时,必然平面BCEF与平面PAD不垂直.
故④不一定成立.
综上可知:只有②③正确,即正确的命题的个数是2.
故答案为2.
①在△PAD中,由PE=EA,PF=FD,根据三角形的中位线定理可得EF∥AD,
又∵AD∥BC,∴EF∥BC,
因此四边形EFBC是梯形,故直线BE与直线CF不是异面直线,所以①不正确;
②由点A不在平面EFCB内,直线BE不经过点F,根据异面直线的定义可知:直线BE与直线AF异面,所以②正确;
③由①可知:EF∥BC,EF⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,∴直线EF∥平面PBC,故③正确;
④如图:假设平面BCEF⊥平面PAD.
过点P作PO⊥EF分别交EF、AD于点O、N,在BC上取一点M,连接PM、OM、MN,
∴PO⊥OM,又PO=ON,∴PM=MN.
若PM≠MN时,必然平面BCEF与平面PAD不垂直.
故④不一定成立.
综上可知:只有②③正确,即正确的命题的个数是2.
故答案为2.
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