（2014•南京模拟）数列{an}是等差数列，数列{bn}满足bn=anan+1an+2（n∈N*），设Sn为{bn}的前n项和．若a12=38a5＞0，则当Sn取得最大值时n的值等于．

Question

（2014•南京模拟）数列{a_n}是等差数列，数列{b_n}满足b_n=a_na_n+1a_n+2（n∈N^*），设S_n为{b_n}的前n项和．若a₁₂=(3)/(8)a₅＞0，则当S_n取得最大值时n的值等于______．

Answer 1

设{a_n}的公差为d，由a₁₂=(3)/(8)a₅＞0得 a₁=-(76)/(5)d，a₁₂＜a₅，
即d＜0，
所以a_n=（n-(81)/(5)）d，
从而可知1≤n≤16时，a_n＞0，n≥17时，a_n＜0．
从而b₁＞b₂＞…＞b₁₄＞0＞b₁₇＞b₁₈＞…，b₁₅=a₁₅a₁₆a₁₇＜0，b₁₆=a₁₆a₁₇a₁₈＞0，
故S₁₄＞S₁₃＞…＞S₁，S₁₄＞S₁₅，S₁₅＜S₁₆．
因为a₁₅=-(6)/(5)d＞0，a₁₈=(9)/(5)d＜0，
所以a₁₅+a₁₈=-(6)/(5)d+(9)/(5)d=(4)/(5)d＜0，
所以b₁₅+b₁₆=a₁₆a₁₇（a₁₅+a₁₈）＞0，
所以S₁₆＞S₁₄，故S_n中S₁₆最大．
故答案为：16