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如图,若△ABC和△ADE为等边三角形,M,N分别EB,CD的中点,易证:CD=BE,△AMN是等边三角形。(1)当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时,CD=BE是否仍然成立?若成立请证明,若不成
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如图,若△ABC和△ADE为等边三角形,M,N分别EB,CD的中点,易证:CD=BE,△AMN是等边三角形。 |
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(1)当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时,CD=BE是否仍然成立?若成立请证明,若不成立请说明理由; (2)当△ADE绕A点旋转到图3的位置时,△AMN是否还是等边三角形?若是,请给出证明,并求出当AB=2AD时,△ADE与△ABC及△AMN的面积之比;若不是,请说明理由。 |
▼优质解答
答案和解析
(1)CD=BE;理由如下 ∵△ABC和△ADE为等边三角形, ∴AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠EAD=60°, ∵∠BAE=∠BAC-∠EAC=60°-∠EAC, ∠DAC=∠DAE-∠EAC=60°-∠EAC, ∴∠BAE=∠DAC, ∴△ABE≌△ACD, ∴CD=BE; (2)△AMN是等边三角形;理由如下: ∵△ABE≌△ACD, ∴∠ABE=∠ACD, ∵M、N分别是BE、CD的中点, ∴BM= , ∵AB=AC,∠ABE=∠ACD, ∴△ABM≌△ACN, ∴AM=AN,∠MAB=∠NAC, ∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°, ∴△AMN是等边三角形, 设AD=a,则AB=2a, ∵AD=AE=DE,AB=AC, ∴CE=DE, ∵△ADE为等边三角形, ∴∠DEC=120°,∠ADE=60°, ∴∠EDC=∠ECD=30°, ∴∠ADC=90°, ∴在Rt△ADC中,AD=a,∠ACD=30°, ∴CD= , ∵N为DC中点, ∴ , ∴ , ∵△ADE,△ABC,△AMN为等边三角形, ∴S △ADE ∶S △ABC ∶S △AMN = 。 | |
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