早教吧作业答案频道 -->数学-->
如何求S(n)=1^3+2^3+3^3+4^3+.+n^3帮我用n表示求和公式S(n),并附推算过程.
题目详情
如何求S(n)=1^3+2^3+3^3+4^3+.+n^3
帮我用n表示求和公式S(n),并附推算过程.
帮我用n表示求和公式S(n),并附推算过程.
▼优质解答
答案和解析
1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
.
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2
(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]
=(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1
.
(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1
各式相加有
(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n
4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n
=[n(n+1)]^2
1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2
利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
.
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2
(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]
=(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1
.
(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1
各式相加有
(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n
4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n
=[n(n+1)]^2
1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2
看了如何求S(n)=1^3+2^3...的网友还看了以下:
小丽在电脑上设计了一个有理数运算程序:先输入a,加*键,再输入b,就可以得到运算:a*b=(a-2 2020-04-09 …
用a,b,c表示一个等边三角形围绕它的中心在同一平面内所作的旋转运动,a表示顺时针旋转240°b表 2020-04-10 …
设a*b表示a的3倍减去b的2倍(1)计算(2*3)*4;2*(3*4);(2)这个运算“*”有交 2020-04-27 …
简单PH计算求ph=3的HCL和NH4cl溶液中c(H+)水之比 2020-06-04 …
惯性矩计算公式中的分母怎么来的求详解.惯性矩计算公式:矩形:b*h^3/12三角形:b*h^3/3 2020-06-12 …
为什么计算器算出来的数自动缩小一万倍比如说90000除以3应该等于30000,计算器屏幕上自动显示 2020-07-14 …
位运算的运算规则是什么?比如说负整数的按位求或、按位求异或怎么求?见补充:按位求或:(-3^2)我 2020-07-23 …
请算一算,认真观察,然后回答问题(1)完成下面的各个计算1×2×3×4+1=2×3×4×5+1=3× 2020-12-31 …
如图所示的程序框图表示的算法功能是()A.计算S=1×2×3×4×5×6的值B.计算S=1×2×3× 2021-01-15 …
规定一种新运算“@”,对于任意有理数a、b,都有a@b=a-b+1,请根据新运算求2@(-3)@(- 2021-01-22 …