宏远广告公司要为某企业的一种产品设计商标图案，给出了如下几种初步方案，供继续设计选用（设图中圆的半径均为r）（1）如图1，分别以线段O1O2的两个端点为圆心，以这条线段的长为半

Question

宏远广告公司要为某企业的一种产品设计商标图案，给出了如下几种初步方案，供继续设计选用（设图中圆的半径均为r）
（1）如图1，分别以线段O₁O₂的两个端点为圆心，以这条线段的长为半径作出两个互相交错的圆的图案，试求两圆相交部分的面积；
（2）如图2，分别以等边△O₁O₂O₃的三个顶点为圆心，以其边长为半径，作出三个两两相交的相同的圆，这时，这三个圆相交部分的面积又是多少呢？
（3）如图3，分别以正方形O₁O₂O₃O₄的四个顶点为圆心，以其边长为半径，作出四个相同的圆，这时，这四个圆相交部分的面积又是多少呢？

Answer 1

（1）设两圆交于A，B两点，连接O₁A，O₂A，O₁B，O₂B．
则S_阴=S_菱形+4S_弓．
∵S_菱形=2S△AO1O2，△O₁O₂A为正三角形，其边长为r．
∴S△AO1O2=(√(3)r2)/(4)，S_弓=(60πr2)/(360)-(√(3)r2)/(4)=(πr2)/(6)−(√(3)r2)/(4)．
∴S_阴=2×(√(3)r2)/(4)+4（(πr2)/(6)−(√(3)r2)/(4)）=(2)/(3)πr²-(√(3))/(2)r²．


（2）图2阴影部分的面积为：
S_阴=S△O1O2O3+3S_弓
∵△O₁O₂O₃为正三角形，边长为r，
∴S△O1O2O3=(√(3)r2)/(4)．
∴S_弓=(60πr2)/(360)-(√(3)r2)/(4)．
S_阴=(√(3)r2)/(4)+3（(60πr2)/(360)-(√(3)r2)/(4)）=(πr2)/(2)−(√(3)r2)/(2)．

（3）延长O₂O₁与⊙O₁交于点A，⊙O₁与⊙O₄交于点B．
由（1）知，SO1BO4=(1)/(2)（(2)/(3)πr2-(√(3)r2)/(2)）．
∵SO1AB=S扇形AO1O4-SO1BO4=(90πr2)/(360)-(1)/(2)（(2)/(3)πr2-(√(3)r2)/(2)）=(πr2)/(4)−(1)/(3)πr2+(√(3)r2)/(4)，
则S正方形O1O2O3O4-4SO1AB=r²-4（(πr2)/(4)−(1)/(3)πr2+(√(3)r2)/(4)）=（(1)/(3)π+1-√(3)）r²．