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已知函数,且此函数图象过点(1,5).(1)求实数m的值并判断f(x)的奇偶性;(2)判断函数f(x)在(0,2)上的单调性,并用定义证明你的结论.(3)解关于实数x的不等式.
题目详情
已知函数,且此函数图象过点(1,5).
(1)求实数m的值并判断f(x)的奇偶性;
(2)判断函数f(x)在(0,2)上的单调性,并用定义证明你的结论.
(3)解关于实数x的不等式.
(1)求实数m的值并判断f(x)的奇偶性;
(2)判断函数f(x)在(0,2)上的单调性,并用定义证明你的结论.
(3)解关于实数x的不等式.
▼优质解答
答案和解析
(1)把(1,5)代入函数f(x)得f(1)=1+m=5,解得m=4∴∵=-f(x)∴f(x)是奇函数;(2)函数在(0,2)上单调减,证明如下:取0<x1<x2<2,则f(x2)-f(x1)=(x2+)-(x1+)=(x2-x1)+4()=(x2-x1)(1-)因为0<x1<x2<2,所以x1x2<4,∴1-<0,x2-x1>0,所以f(x2)-f(x1)<0∴f(x1)>f(x2)∴函数在(0,2)上单调减(3)不等式,等价于f(1),由(2)知∴2-2x>1∴2x<1∴x<0∴不等式的解集为(-∞,0)分析:(1)把(1,5)代入函数f(x),可求得m=4,利用奇偶性的定义,即可得到结论;(2)函数在(0,2)上单调减,利用单调性的定义证明,取值,作差,变形,定号下结论;(3)不等式,等价于f(1),由(2)知,从而可得不等式的解集.点评:本题考查函数的解析式,考查函数的奇偶性与单调性,考查解不等式,正确运用定义是关键.
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