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在正方形ABCD中,点E在线段BC上(点E不与点B、C重合),连接AE,过点E作AE的垂直交直线DC于F,交直线AB于G.如图①,当点E为BC边中点时,易证;CF+BG=EB.当点E不为BC边中点时,如图②,图③
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在正方形ABCD中,点E在线段BC上(点E不与点B、C重合),连接AE,过点E作AE的垂直交直线DC于F,交直线AB于G.如图①,当点E为BC边中点时,易证;CF+BG=EB.当点E不为BC边中点时,如图②,图③两种情况下,上述结论是否成立,若成立,请给予证明;若不成立,线段CF、BG、EB之间有怎样的数量关系,写出你的猜想,不需证明.
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答案和解析
(1)CF+BG=BE,成立
证明:如图①,过点F作FH⊥AB于H,交AE于M,
∴四边形FHBC为矩形,
∴FH=BC=AB,FC=HB,
∵正方形ABCD,AE⊥FG,
∴∠ABC=∠AEF=90°,
∵∠AMH=∠FME,
∴∠EAB=∠HFG,
在△ABE和△FHG中
,
∴△ABE≌△FHG,
∴HG=BE,
CF+BG=BE.
(2)CF+BG=BE,
证明:如图②,
过点F作FH⊥AB于H,交AE于M,
∴四边形FHBC为矩形,
∴FH=BC=AB,FC=HB,
∵正方形ABCD,AE⊥FG,
∴∠ABC=∠AEF=90°,
∵∠AMH=∠FME,
∴∠EAB=∠HFG,
在△ABE和△FHG中
,
∴△ABE≌△FHG,
∴HG=BE,
CF+BG=BE.
(3)如图③的猜想是BG-CF=BE.
证明:如图①,过点F作FH⊥AB于H,交AE于M,
∴四边形FHBC为矩形,
∴FH=BC=AB,FC=HB,
∵正方形ABCD,AE⊥FG,
∴∠ABC=∠AEF=90°,
∵∠AMH=∠FME,
∴∠EAB=∠HFG,
在△ABE和△FHG中
|
∴△ABE≌△FHG,
∴HG=BE,
CF+BG=BE.
(2)CF+BG=BE,
证明:如图②,
过点F作FH⊥AB于H,交AE于M,
∴四边形FHBC为矩形,
∴FH=BC=AB,FC=HB,
∵正方形ABCD,AE⊥FG,
∴∠ABC=∠AEF=90°,
∵∠AMH=∠FME,
∴∠EAB=∠HFG,
在△ABE和△FHG中
|
∴△ABE≌△FHG,
∴HG=BE,
CF+BG=BE.
(3)如图③的猜想是BG-CF=BE.
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