如图是利用液压起重机提升重物的示意图，起重机工作过程中在几个支脚M的作用下使车轮离开水平地面，在某次提升重物A的过程中，可绕D点自由转动的吊臂BD始终保持水平方向，柱塞E始终

Question

如图是利用液压起重机提升重物的示意图，起重机工作过程中在几个支脚M的作用下使车轮离开水平地面，在某次提升重物A的过程中，可绕D点自由转动的吊臂BD始终保持水平方向，柱塞E始终与BD垂直且作用于吊臂的C点．已知起重机质量为7×10³kg，支脚对地面的作用总面积S=0.25m²，CD=2m，BD=8m，m_A=3×10³kg．忽略吊臂、滑轮、钢丝绳的质量，不计摩擦，g取10N/kg，√(2)=1.4，求：

（1）起重机提升重物A的过程中，起重机对地面的压强p；
（2）吊臂BD水平平衡时，起重机柱塞E对吊臂BD的支持力F；
（3）吊臂上升到B′D过程中，柱塞E做功W．

Answer 1

（1）起重机的重力：G_机=m_机g=7×10³kg×10N/kg=7×10⁴N，
重物A的重力：G_A=m_Ag=3×10³kg×10N/kg=3×10⁴N，
起重机提升重物A的过程中，对地面的压力：F_压=G_总=7×10⁴N+3×10⁴N=1×10⁵N，
起重机对地面的压强：
p=(F压)/(S)=(1×105N)/(0.25m2)=4×10⁵Pa；
（2）忽略吊臂、滑轮、钢丝绳的质量，不计摩擦，吊臂BD在水平位置平衡，
则吊臂B端受到的向下拉力为F_B=G_A=3×10⁴N，其力臂为BD=8m，
设起重机柱塞E对吊臂BD的支持力F，由图和题意可知，支持力的力臂为CD=2m，
根据杠杆平衡条件有F_B×BD=F×CD，
则柱塞E对吊臂BD的支持力：F=(FB×BD)/(CD)=(3×104N×8m)/(2m)=1.2×10⁵N；
（3）起重机提升重物时，吊臂的转动情况如图所示：

由数学知识可得，吊臂B端上升的高度：
h=BD×sin45°=8m×(√(2))/(2)=8m×(1.4)/(2)=5.6m，
吊臂从水平位置上升到B′D过程中，由于是通过液压杆支撑吊臂（绳子没有收缩），故重物上升的高度等于B端上升的高度，即重物上升高度h=5.6m；
由于忽略吊臂、滑轮、钢丝绳的质量，不计摩擦，
所以，柱塞E做的功等于克服重物A的重力做的功，
则柱塞E做的功：W=G_Ah=3×10⁴N×5.6m=1.68×10⁵J．
答：（1）起重机提升重物A的过程中，起重机对地面的压强p为4×10⁵Pa；
（2）吊臂BD水平平衡时，起重机柱塞E对吊臂BD的支持力F为1.2×10⁵N；
（3）吊臂上升到B′D过程中，柱塞E做功W为1.68×10⁵J．