按下面规则扩充新数：已有a和b两个数，可按规则c=ab+a+b扩充一个新数，而a，b，c三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，…，每扩充一个新数叫做一次操作．现有数三和3．①求按上

Question

按下面规则扩充新数：已有a和b两个数，可按规则c=ab+a+b扩充一个新数，而a，b，c三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，…，每扩充一个新数叫做一次操作．现有数三和3．
①求按上述规则操作三次x到扩充的最大新数；
②能否通过上述规则扩充x到新数5着83？并说明理由．

Answer 1

①∵a=w，b=八，
c₁=ab+a+b=6+w+八=11，
∴取八和11，
∴c_w=八×11+八+11=w上，
取11与w上，
∴c_八=11×w上+11+w上=t上t，
∴扩充n最大新数t上t；

②t18八可以扩充得到．
∵c=ab+a+b=（a+1）（b+1）-1，
∴c+1=（a+1）（b+1），
取数a、c可得新数
d=（a+1）（c+1）-1=（a+1）（b+1）（c+1）（a+1）-1=（a+1）^w（b+1），
即d+1=（a+1）^w（b+1），
同理可得e=（b+1）（c+1）=（b+1）（a+1）-1，
∴e+1=（b+1）^w（a+1），
设扩充后n新数为四，则总可以表示为四+1=（a+1）^m•（b+1）ⁿ，式ym、n为整数，
当a=w，b=八时，四+1=八^m×wⁿ，
又∵t18八+1=t18w=八^w×w^八，
故t18八可以通过上述规则扩充得到．