国家质量技术监督总局对某工厂生产的六年、九年、十二年三种被怀疑有问题的白酒进行甲醇和塑化剂含量检测，测试过程相互独立，其中通过甲醇含量检测的概率分别为13，13，12，通过塑

Question

国家质量技术监督总局对某工厂生产的六年、九年、十二年三种被怀疑有问题的白酒进行甲醇和塑化剂含量检测，测试过程相互独立，其中通过甲醇含量检测的概率分别为(1)/(3)，(1)/(3)，(1)/(2)，通过塑化剂含量检测的概率分别为(3)/(5)，(1)/(3)，(1)/(3)，两项检测均通过的白酒则认为其达标．
（1）求三种白酒仅有一种达标的概率；
（2）检测后不达标的白酒将停产整改，求停产整改的白酒种数X的分布列及数学期望．

Answer 1

（1）分别记六年、九年、十二年白酒通过甲醇含量检测的为事件A_i，i=1，2，3，
通过塑化剂检测的为事件B_i，i=1，2，3，
则六年白酒达标的概率p₁=(1)/(3)×(3)/(5)=(1)/(5)，九年白酒达标的概率p₂=(1)/(3)×(1)/(3)＝(1)/(9)，
十二年白酒达标的概率p₃=(1)/(2)×(1)/(3)＝(1)/(6)，
设E表示检测后仅有一种达标的事件，
则P（E）=p₁（1-p₂）（1-p₃）+（1-p₁）p₂（1-p₃）+（1-p₁）（1-p₂）p₃
=(1)/(5)×(8)/(9)×(5)/(6)+(4)/(5)×(1)/(9)×(5)/(6)+(4)/(5)×(8)/(9)×(1)/(6)=(46)/(135)．
（2）由题意知X的所有可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）=p₁p₂p₃=(1)/(5)×(1)/(9)×(1)/(6)=(1)/(270)，
P（X=1）=p₁p₂（1-p₃）+p₁（1-p₂）p₃+（1-p₁）p₂p₃
=(1)/(5)×(1)/(9)×(5)/(6)+(1)/(5)×(8)/(9)×(1)/(6)+(4)/(5)×(1)/(9)×(1)/(6)=(17)/(270)，
P（X=2）=p₁（1-p₂）（1-p₃）+（1-p₁）p₂（1-p₃）+（1-p₁）（1-p₂）p₃
=(1)/(5)×(8)/(9)×(5)/(6)+(4)/(5)×(1)/(9)×(5)/(6)+(4)/(5)×(8)/(9)×(1)/(6)=(46)/(135)，
P（X=3）=（1-p₁）（1-p₂）（1-p₃）=(4)/(5)×(8)/(9)×(5)/(6)＝(16)/(27)，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	(1)/(270)	(17)/(270)	(46)/(135)	(16)/(27)

∴E（X）=0×(1)/(270)+1×(17)/(270)+2×(46)/(135)+3×(16)/(27)=(277)/(90)．