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已知如图,抛物线y=x2+bx+c过点A(3,0),B(1,0),交y轴于点C,点P是该抛物线上一动点,点P从C点沿抛物线向A点运动(点P不与点A重合),过点P作PD∥y轴交直线AC于点D.(1)求抛物线的解
题目详情
已知如图,抛物线y=x2+bx+c过点A(3,0),B(1,0),交y轴于点C,点P是该抛物线上一动点,点P从C点沿抛物线向A点运动(点P不与点A重合),过点P作PD∥y轴交直线AC于点D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值;
(3)△APD能否构成直角三角形?若能请直接写出点P坐标,若不能请说明理由;
(4)在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA-MC|最大?若存在请求出点M的坐标,若不存在请说明理由.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值;
(3)△APD能否构成直角三角形?若能请直接写出点P坐标,若不能请说明理由;
(4)在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA-MC|最大?若存在请求出点M的坐标,若不存在请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵抛物线y=x2+bx+c过点A(3,0),B(1,0),
∴
,
解得
,
∴抛物线解析式为y=x2-4x+3;
(2)令x=0,则y=3,
∴点C(0,3),
则直线AC的解析式为y=-x+3,
设点P(x,x2-4x+3),
∵PD∥y轴,
∴点D(x,-x+3),
∴PD=(-x+3)-(x2-4x+3)=-x2+3x=-(x-
)2+
,
∵a=-1<0,
∴当x=
时,线段PD的长度有最大值
;
(3)①∠APD是直角时,点P与点B重合,
此时,点P(1,0),
②∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1,
∴抛物线的顶点坐标为(2,-1),
∵A(3,0),
∴点P为在抛物线顶点时,∠PAD=45°+45°=90°,
此时,点P(2,-1),
综上所述,点P(1,0)或(2,-1)时,△APD能构成直角三角形;
(4)由抛物线的对称性,对称轴垂直平分AB,
∴MA=MB,
由三角形的三边关系,|MA-MC|<BC,
∴当M、B、C三点共线时,|MA-MC|最大,为BC的长度,
设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0),
则
,
解得
,
∴直线BC的解析式为y=-3x+3,
∵抛物线y=x2-4x+3的对称轴为直线x=2,
∴当x=2时,y=-3×2+3=-3,
∴点M(2,-3),
即,抛物线对称轴上存在点M(2,-3),使|MA-MC|最大.
∴
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解得
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∴抛物线解析式为y=x2-4x+3;
(2)令x=0,则y=3,
∴点C(0,3),
则直线AC的解析式为y=-x+3,
设点P(x,x2-4x+3),
∵PD∥y轴,
∴点D(x,-x+3),
∴PD=(-x+3)-(x2-4x+3)=-x2+3x=-(x-
3 |
2 |
9 |
4 |
∵a=-1<0,
∴当x=
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(3)①∠APD是直角时,点P与点B重合,
此时,点P(1,0),
②∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1,
∴抛物线的顶点坐标为(2,-1),
∵A(3,0),
∴点P为在抛物线顶点时,∠PAD=45°+45°=90°,
此时,点P(2,-1),
综上所述,点P(1,0)或(2,-1)时,△APD能构成直角三角形;
(4)由抛物线的对称性,对称轴垂直平分AB,
∴MA=MB,
由三角形的三边关系,|MA-MC|<BC,
∴当M、B、C三点共线时,|MA-MC|最大,为BC的长度,
设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0),
则
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解得
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∴直线BC的解析式为y=-3x+3,
∵抛物线y=x2-4x+3的对称轴为直线x=2,
∴当x=2时,y=-3×2+3=-3,
∴点M(2,-3),
即,抛物线对称轴上存在点M(2,-3),使|MA-MC|最大.
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