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如图,直线y=-x+6与x轴交于点A,与y轴交于点B,以线段AB为直径作⊙C,抛物线y=ax2+bx+c过A、C、O三点.(1)求点C的坐标和抛物线的解析式;(2)过点B作直线与x轴交于点D,且OB2=OA•OD,求证:
题目详情
如图,直线y=-x+6与x轴交于点A,与y轴交于点B,以线段AB为直径作⊙C,抛物线y=ax2+bx+c过A、C、O三点.
(1)求点C的坐标和抛物线的解析式;
(2)过点B作直线与x轴交于点D,且OB2=OA•OD,求证:DB是⊙C的切线;
(3)抛物线上是否存在一点P,使以P、O、C、A为顶点的四边形为直角梯形?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/48540923dd54564e2b3536c2b0de9c82d0584ffd.jpg)
(1)求点C的坐标和抛物线的解析式;
(2)过点B作直线与x轴交于点D,且OB2=OA•OD,求证:DB是⊙C的切线;
(3)抛物线上是否存在一点P,使以P、O、C、A为顶点的四边形为直角梯形?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/48540923dd54564e2b3536c2b0de9c82d0584ffd.jpg)
▼优质解答
答案和解析
,
所以点O在⊙C上(没有说明不扣分);
过C点作CE⊥OA,垂足为E,则E为OA中点,故点C的横坐标为3;
又点C在直线y=-x+6上,故C(3,3);
抛物线过点O,所以c=0,
又抛物线过点A、C,
所以
,
解得:
;
所以抛物线解析式为
;
(2)OA=OB=6代入OB2=OA•OD,得OD=6;
所以OD=OB=OA,∠DBA=90°;
又点B在圆上,故DB为⊙C的切线;
(通过证相似三角形得出亦可)
(3)假设存在点P满足题意,
连接OC,因C为AB中点,O在圆上,
故∠OCA=90°,
要使以P、O、C、A为顶点的四边形为直角梯形,
则∠CAP=90°或∠COP=90°,
若∠CAP=90°,则OC∥AP,
因OC的方程为y=x,
设AP方程为y=x+b;
又AP过点A(6,0),则b=-6,
方程y=x-6与
联立解得:
,
;
故点P1坐标为(-3,-9);
若∠COP=90°,则OP∥AC,同理可求得点P2(9,-9);
(用抛物线的对称性求出亦可)
故存在点P1坐标为(-3,-9)和P2(9,-9)满足题意.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b17eca8065380cd76fdfff25a244ad3458828131.jpg)
所以点O在⊙C上(没有说明不扣分);
过C点作CE⊥OA,垂足为E,则E为OA中点,故点C的横坐标为3;
又点C在直线y=-x+6上,故C(3,3);
抛物线过点O,所以c=0,
又抛物线过点A、C,
所以
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b2de9c82d158ccbf527ce8f21ad8bc3eb0354131.jpg)
解得:
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/8718367adab44aed8a96e32cb01c8701a08bfb1a.jpg)
所以抛物线解析式为
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b999a9014c086e06a968628301087bf40bd1cb32.jpg)
(2)OA=OB=6代入OB2=OA•OD,得OD=6;
所以OD=OB=OA,∠DBA=90°;
又点B在圆上,故DB为⊙C的切线;
(通过证相似三角形得出亦可)
(3)假设存在点P满足题意,
连接OC,因C为AB中点,O在圆上,
故∠OCA=90°,
要使以P、O、C、A为顶点的四边形为直角梯形,
则∠CAP=90°或∠COP=90°,
若∠CAP=90°,则OC∥AP,
因OC的方程为y=x,
设AP方程为y=x+b;
又AP过点A(6,0),则b=-6,
方程y=x-6与
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/8c1001e93901213faaf0131457e736d12e2e9532.jpg)
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故点P1坐标为(-3,-9);
若∠COP=90°,则OP∥AC,同理可求得点P2(9,-9);
(用抛物线的对称性求出亦可)
故存在点P1坐标为(-3,-9)和P2(9,-9)满足题意.
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