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(2014•安庆二模)如图,在菱形ABCD中,AB=BD,点E、F分别在AB、AD上,且AE=DF,连接BF与DE相交于点G,连接CG与BD相交于点H.下列结论:①△ABD是正三角形;②若AF=2DF,则EG=2DG;③△AED≌△DFB;
题目详情
(2014•安庆二模)如图,在菱形ABCD中,AB=BD,点E、F分别在AB、AD上,且AE=DF,连接BF与DE相交于点G,连接CG与BD相交于点H.下列结论:
①△ABD是正三角形;②若AF=2DF,则EG=2DG;③△AED≌△DFB;④S四边形BCDG=
CG2;
其中正确的结论是______.
①△ABD是正三角形;②若AF=2DF,则EG=2DG;③△AED≌△DFB;④S四边形BCDG=
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其中正确的结论是______.
▼优质解答
答案和解析
①∵ABCD为菱形,∴AB=AD.
∵AB=BD,
∴△ABD为等边三角形.
故本小题正确;
②过点F作FP∥AE于P点,
DP:PE=DF:DA=1:2,
而点G与点P不重合,否则与与原题矛盾,
所以EG=2DG错误;
③∵△ABD为等边三角形.
∴∠A=∠BDF=60°.
又∵AE=DF,AD=BD,
∴△AED≌△DFB,故本小题正确;
④∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD,
即∠BGD+∠BCD=180°,
∴点B、C、D、G四点共圆,
∴∠BGC=∠BDC=60°,∠DGC=∠DBC=60°.
∴∠BGC=∠DGC=60°.
过点C作CM⊥GB于M,CN⊥GD于N.
则△CBM≌△CDN,(AAS)
∴S四边形BCDG=S四边形CMGN.
S四边形CMGN=2S△CMG,
∵∠CGM=60°,
∴GM=
CG,CM=
CG,
∴S四边形CMGN=2S△CMG=2×
×
CG×
CG=
CG2,故本小题正确;
综上所述,正确的结论有①③④.
故答案为:①③④.
∵AB=BD,
∴△ABD为等边三角形.
故本小题正确;
②过点F作FP∥AE于P点,
DP:PE=DF:DA=1:2,
而点G与点P不重合,否则与与原题矛盾,
所以EG=2DG错误;
③∵△ABD为等边三角形.
∴∠A=∠BDF=60°.
又∵AE=DF,AD=BD,
∴△AED≌△DFB,故本小题正确;
④∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD,
即∠BGD+∠BCD=180°,
∴点B、C、D、G四点共圆,
∴∠BGC=∠BDC=60°,∠DGC=∠DBC=60°.
∴∠BGC=∠DGC=60°.
过点C作CM⊥GB于M,CN⊥GD于N.
则△CBM≌△CDN,(AAS)
∴S四边形BCDG=S四边形CMGN.
S四边形CMGN=2S△CMG,
∵∠CGM=60°,
∴GM=
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∴S四边形CMGN=2S△CMG=2×
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综上所述,正确的结论有①③④.
故答案为:①③④.
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