对负实数a，数4a+3，7a+7，a2+8a+3依次成等差数列（1）求a的值；（2）若数列{an}满足an+1=an+1-2an（n∈N+），a1=m，求an的通项公式；（3）在（2）的条件下，若对任意n∈N+，不等式a2n+1＜a2n-1恒成立

Question

对负实数a，数4a+3，7a+7，a²+8a+3依次成等差数列
（1）求a的值；
（2）若数列{a_n}满足a_n+1=aⁿ⁺¹-2a_n（n∈N₊），a₁=m，求a_n的通项公式；
（3）在（2）的条件下，若对任意n∈N₊，不等式a_2n+1＜a_2n-1恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

（1）因为4a+3，7a+7，a²+8a+3依次成等差数列，
所以7a+7-（4a+3）=a²+8a+3-（ 7a+7 ），
化简成一个一元二次方程a²-2a-8=0∴a=4或者a=-2
∵a＜0，∴a=-2；
（2）∵a_n+1=（-2）ⁿ⁺¹-2a_n（n∈N₊），
∴两边同除以（-2）ⁿ⁺¹得：(an+1)/((−2)n+1)−(an)/((−2)n)＝1
所以{(an)/((−2)n)}是以−(m)/(2)为首项，d=1为公差的等差数列
∴an＝(−(m)/(2)+n−1)×(−2)n；
（3）∵对任意n∈N₊，不等式a_2n+1＜a_2n-1恒成立
∴m＜(12n+4)/(3)
∴m＜(16)/(3)