求解一道微积分题目设f(x)为定义区间上严格单调且连续可微函数,f-1(x)为相应的反函数,若f(x)的不定积分等于F(x)+c,求f-1(x)的积分.

Question

求解一道微积分题目
设f(x)为定义区间上严格单调且连续可微函数,f-1(x)为相应的反函数,若f(x)的不定积分等于F(x)+c,求f-1(x)的积分.

Answer 1

要求的是∫f-1(x)dx
做代换t = f-1(x)
则∫f-1(x)dx = ∫tdf(t) = tf(t) - ∫f(t)dt = tf(t) - F(t) + c = xf-1(x) - F(f-1(x)) + c.
第三个等号用到分部积分.