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如图,Rt△ABC中,∠CBA=90°,∠CAB的角平分线AP和∠ACB的外角平分线CF相交于点D,AD交CB于P,CF交AB的延长线于F,过D作DE⊥CF交CB的延长线于点G,交AB的延长线于点E,连接CE并延长线交FG于点H
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如图,Rt△ABC中,∠CBA=90°,∠CAB的角平分线AP和∠ACB的外角平分线CF相交于点D,AD交CB于P,CF交AB的延长线于F,过D作DE⊥CF交CB的延长线于点G,交AB的延长线于点E,连接CE并延长线交FG于点H,则下列结论:①∠CDA=45°;②AF-CG=CA;③DE=DC;④FH=CD+GH;⑤CF=2CD+EG,其中正确的有___.
▼优质解答
答案和解析
①利用公式:∠CDA=
∠ABC=45°,①正确;
②如图:延长GD与AC交于点P,
由三线合一可知CG=CP,
∵∠ADC=45°,DG⊥CF,
∴∠EDA=∠CDA=45°,
∴∠ADP=∠ADF,
∴△ADP≌△ADF(ASA),
∴AF=AP=AC+CP=AC+CG,故②正确;
③如图:
∵∠EDA=∠CDA,
∠CAD=∠EAD,
从而△CAD≌△EAD,
故DC=DE,③正确;
④∵BF⊥CG,GD⊥CF,
∴E为△CGF垂心,
∴CH⊥GF,且△CDE、△CHF、△GHE均为等腰直角三角形,
∴HF=CH=EH+CE=GH+CE=GH+
CD,故④错误;
⑤如图:作ME⊥CE交CF于点M,
则△CEM为等腰直角三角形,从而CD=DM,CM=2CD,EM=EC,
∵∠MFE=∠CGE,
∠CEG=∠EMF=135°,
∴△EMF≌△CEG(AAS),
∴GE=MF,
∴CF=CM+MF=2CD+GE,
故⑤正确;
综上所述,
答案为:①②③⑤.
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②如图:延长GD与AC交于点P,
由三线合一可知CG=CP,
∵∠ADC=45°,DG⊥CF,
∴∠EDA=∠CDA=45°,
∴∠ADP=∠ADF,
∴△ADP≌△ADF(ASA),
∴AF=AP=AC+CP=AC+CG,故②正确;
③如图:
∵∠EDA=∠CDA,
∠CAD=∠EAD,
从而△CAD≌△EAD,
故DC=DE,③正确;
④∵BF⊥CG,GD⊥CF,
∴E为△CGF垂心,
∴CH⊥GF,且△CDE、△CHF、△GHE均为等腰直角三角形,
∴HF=CH=EH+CE=GH+CE=GH+
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⑤如图:作ME⊥CE交CF于点M,
则△CEM为等腰直角三角形,从而CD=DM,CM=2CD,EM=EC,
∵∠MFE=∠CGE,
∠CEG=∠EMF=135°,
∴△EMF≌△CEG(AAS),
∴GE=MF,
∴CF=CM+MF=2CD+GE,
故⑤正确;
综上所述,
答案为:①②③⑤.
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