如图，在一个可以向下和向右方无限延伸的表格中，将正偶数按已填好的各个方格中的数字显现的规律填入各方格中．其中第i行，第j列的数记作aij，i，j∈N*，如a11=2，a23=16．24814…6101624…12

Question

如图，在一个可以向下和向右方无限延伸的表格中，将正偶数按已填好的各个方格中的数字显现的规律填入各方格中．其中第i行，第j列的数记作a_ij，i，j∈N^*，如a₁₁=2，a₂₃=16．

2	4	8	14	…
6	10	16	24	…
12	18	26	36	…
20	28	38	50	…
…	…	…	…	…

（Ⅰ）写出a₁₅，a₅₃，a₆₆的值；
（Ⅱ） 若a_ij=502，求i，j的值；（只需写出结论）
（Ⅲ）设b_n=a_nn，c_n=(1)/(2n)-(4)/(bn+1-2)（n∈N^*，），记数列{c_n}的前n项和为S_n，求S_n；并求正整数k，使得对任意n∈N^*，均有S_k≥S_n．

Answer 1

（I）a₁₅=22，a₅₃=52，a₆₆=122．…（4分）
（II）I=20，j=3．…（8分）
（III）位于从左上角到右下角的对角线上的方格内的数字组成的数列是2，10，26，50，b_n是依（ II）中排法的第2n-1组的中间一个数，即第n个数，
所以b_n=（2n-1）2 n-2（n-1）=4 n²-4 n+2=4n（ n-1）+2，n=1，2，3，…；
因为cn=(1)/(2n)-(4)/(bn+1-2)所以cn=(1)/(2n)-(1)/(n(n+1))(n∈N*)，
故Sn=(1)/(n+1)-(1)/(2n)(n∈N*)．…（10分）
因为c₁=0，c₂>0，c₃>0，c₄>0；当n≥5时，cn=(1)/(n(n+1))[(n(n+1))/(2n)-1]，
而[(n(n+1))/(2n)-1]-[((n+1)(n+2))/(2n+1)-1]=(n(n+1))/(2n)-((n+1)(n+2))/(2n+1)=((n+1)(n-2))/(2n+1)>0
得(n(n+1))/(2n)≤(5(5+1))/(25)<1，
所以当n≥5时，c_n<0，
综上对任意n∈N^*恒有S₄≥S_n，故k=4．…（13分）