试证如果两个r阶矩阵A与C的行向量组分别构成同一个齐次线性方程组的基础解系，则必定存在一个r阶满秩阵B，使得A=BC．

Question

试证如果两个r阶矩阵A与C的行向量组分别构成同一个齐次线性方程组的基础解系，则必定存在一个r阶满秩阵B，使得A=BC．

Answer 1

证明：设A的行向量为a₁，a₂，a₃，…，a_r，C的行向量为c₁，c₂，c₃，…，c_r
由于C是基础解系，而A是方程组的解，
所以向量组a₁，…，a_m可由向量组c₁，c₂，…，c_m表出，
具体的说，就是存在系数k_ij，使得
a_i=k_i1c₁+k_i2c₂+…+k_imc_m（i=1，2，…，m）
令m阶矩阵B=k_ij，就满足A=BC
又A和C的地位是对称的，同理也存在m阶矩阵D，使得C=DA
所以A=BC=（BD）A
由于A是基础解系，即A的行向量线性无关，
所以有BD=E
因此B是可逆的．