线性代数题证明向量组a1,a2,a3线性无关的充分必要条件是a1+a2,a2+a3,a3+a1线性无关.这类题不是先证明充分性然后证明必要性么？这样写可以么？2L的不好意思我这本书这道题不是例题而是习题

Question

线性代数题
证明向量组a1,a2,a3线性无关的充分必要条件是a1+a2,a2+a3,a3+a1线性无关.
这类题不是先证明充分性然后证明必要性么？这样写可以么？
2L的不好意思 我这本书这道题不是例题而是习题

Answer 1

完整证明：
假设存在有k1,k2,k3使得有
k1(a1+a2)+k2(a2+a3)+k3(a3+a1)=0
所以有（k1+k3)a1+(k1+k2)a2+(k2+k3)a3=0
因为向量组a1,a2,a3线性无关
所以有
k1+k3＝0
k1+k2＝0
k2+k3＝0
解这个方程有k1=k2=k3=0
所以a1+a2,a2+a3,a3+a1线性无关,
这两个过程可以互相推出,综上有：
向量组a1,a2,a3线性无关的充分必要条件是a1+a2,a2+a3,a3+a1线性无关