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设矩阵M是把坐标平面上的点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标保持不变的伸缩变换．（Ⅰ）求矩阵M；（Ⅱ）求矩阵M的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．
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| 设矩阵M是把坐标平面上的点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标保持不变的伸缩变换． （Ⅰ）求矩阵M； （Ⅱ）求矩阵M的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量． |
▼优质解答
答案和解析
| （Ⅰ）由条件得矩阵  （Ⅱ） 是矩阵M属于特征值 的一个特征向量， 是矩阵M属于特征值 的一个特征向量． |
| (1)易求 .(2)由矩阵M，可知其特征多项式为  ,然后利用 ,可解出 的特征值，有两个值，然后分别求其特征向量即可（Ⅱ）因为矩阵 的特征多项式为 ，令 ，解得特征值为 ， ，设属于特征值  的矩阵M的一个特征向量为 ，则 ，解得 ，取 ，得 ， 同理，对于特征值 ，解得 ，取 ，得 ， 6分所以 是矩阵M属于特征值 的一个特征向量， 是矩阵M属于特征值 的一个特征向量． |
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