若原点O和点F（-3，0）分别是双曲线x2a2−y2=1（a＞0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则OP•FP的取值范围为（）A．[8+62，+∞）B．[-3，+∞）C．[-18，+∞）D．[18，+∞）

Question

若原点O和点F（-3，0）分别是双曲线(x2)/(a2)−y2=1（a＞0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则

OP

•

FP

的取值范围为（　　）

A．[8+6√(2)，+∞）
B．[-3，+∞）
C．[-(1)/(8)，+∞）
D．[(1)/(8)，+∞）

Answer 1

设P（m，n），则

OP

•

FP

=（m，n）•（m+3，n）=m²+3m+n²．
∵F（-3，0）是双曲线(x2)/(a2)−y2=1（a＞0）的左焦点，
∴a²+1=9，∴a²=8，
∴双曲线方程为(x2)/(8)−y2＝1，
∵点P为双曲线右支上的任意一点，
∴(m2)/(8)−n2＝1(m≥2√(2))，
∴n²=(m2)/(8)-1，
∵

OP

•

FP

=（m，n）•（m+3，n）=m²+3m+n²，
∴m²+2m+n²=m²+3m+(m2)/(8)-1=(9)/(8)m²+3m-1
∵m≥2√(2)，
∴函数在[2√(2)，+∞）上单调递增，
∴m²+3m+n²≥8+6√(2)，
∴

OP

•

FP

的取值范围为[8+6√(2)，+∞）．
故选：A．